If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:6:38

Transkript

Máme zde hru z podivuhodného kasina. Jako obvykle doporučuji video zastavit a odpovědět si na otázku samostatně. Pojďme na to. V neprůhledným sáčku máme dvě červené kuličky a dále tři zelené. A naším úkolem je určit pravděpodobnost, že vyhrajeme. Neboli že vytáhnete náhodně dvě kuličky a obě budou zelené. Tak pojďme to spočítat, jak jsme zvyklí, to znamená pravděpodobnost, že vytáhnete první zelenou kuličku krát pravděpodobnost, že opět vytáhnete zelenou kuličku. Jevy mají nastat současně, takže násobíme. V sáčku víme, že jsou tři zelené kuličky. To jsou naše příznivé výsledky. Celkem pět kuliček, tedy 5 všech možných výsledků. Tím pádem pravděpodobnost je tři pětiny krát tři pětiny, což je celkem 9 dvaceti pětin. Tento postup je rychlý, často používaný a také chybný. Bohužel vytahování druhé zelené kuličky není nezávislý jev, protože se nám změnil poměr kuliček k sáčku. To znamená tři pětiny už znova neplatí. Nemůžeme tedy postupovat takto jednoduše. Než si ukážeme správný postup, podíváme se na teoretický koncept, který se jmenuje podmíněná pravděpodobnost. Ten se nám bude velice hodit. Podmíněná pravděpodobnost se značí následovně. Pravděpodobnost A svislá čára B. Svislá čára se čte jako za podmínky a říkáme tím, jaká je pravděpodobnost za podmínky, že jev B už nastal. Co to bude znamenat matematicky? V množině všech možných výsledků si nejprve znázorníme dvě podmnožiny, jevy A a B. A nyní si zakreslíme podmíněnou pravděpodobnost. Podmínka nám říká, že jev B již nastal. To znamená, že možné výsledky už pochází pouze z jevu B. To znamená, my nebudeme dělit všemi možnými výsledky, ale pouze těmi z jevu B a to odpovídá pravděpodobnosti jevu B. Ta bude tedy ve jmenovateli. Pojďme dál. Pokud má nastat jev A, musí nastat nějaký výsledek, který je v jevu A a zároveň v jevu B. Může tedy nastat jenom tento malý výsek, což je přesně průnik jevů A a B. To znamená v čitateli nebude celý jev A, ale jenom pravděpodobnost průniku jevů A a B. Protože jiná část jevu A nastat nemůže kvůli naší podmínce. Tím jsme dostali vzorec pro výpočet podmíněné pravděpodobnosti. My ho ale často používáme ještě v jiné podobě, upravený tak, že rovnost vynásobíme pravděpodobností jevu B a dostáváme tak na pravé straně samostatně pravděpodobnost průniku a tu právě často potřebujeme vypočítat pomocí tohoto vzorce. Po úpravě tak dostáváme: pravděpodobnost průniku jevů A a B je pravděpodobnost jevu A za podmínky jevu B, krát pravděpodobnost jevu B. Anebo naopak díky tomu, že průnik je symetrický. Je to také pravděpodobnost jevu A krát pravděpodobnost jevu B za podmínky, že nastal jev A. Právě tento vztah se nám bude hodit při řešení naší úlohy z kasina a mnohých dalších. Jen připomenu, že máme neprůhledný sáček se třemi zelenými a dvěma červenými kuličkami a naším úkolem je vytáhnout dvě zelené. Pojmenujeme si tedy jednotlivé jevy A, že první vytáhneme zelenou a B, že druhou vytáhneme zelenou. Tyto dva jevy nemají stejnou pravděpodobnost a nejsou nezávislé. Podle vzorce tak vypočítáme pravděpodobnost, že nastanou oba dva zároveň. To je levá strana rovnosti ze vzorce. A použijeme druhou stranu, bude to tedy přehlednější. Pravděpodobnost jevu A, tu už jsme jednou řešili. To je že na počátku první kuličku vytáhneme zelenou, jsou tam tři zelené kuličky z pěti možných. Dále máme ve vzorci podmíněnou pravděpodobnost, že nastane jev B, pokud už nastal jev A. Podmínka, že nastal jev A znamená, že v sáčku ubyla jedna zelená kulička a to znamená, že tam zbývají dvě zelené kuličky a dvě červené. Tato podmínka nám samozřejmě ovlivní pravděpodobnost jevu B, což je vytažení zelené kuličky. Ty už tam totiž zbývají pouze dvě a máme tak pouze dva příznivé výsledky a ne z pěti ale ze čtyř možných. Po vynásobení tak dostáváme šest dvacetin, což můžeme zkrátit na tři desetiny. Což je správné řešení této úlohy.