Hlavní obsah
Kurz: Pravděpodobnost a kombinatorika > Kapitola 2
Lekce 8: Závislé jevy a podmíněná pravděpodobnostPodmíněná pravděpodobnost
Evžen hází dvěma kostkami – šestistěnnou a čtyřstěnnou. Budou nás zajímat jevy: A – Na obou kostkách padnou stejná čísla. B – Alespoň na jedné kostce padne číslo 4. Máme určit pravděpodobnosti několika zajímavých kombinací těchto jevů. Vyzkoušíme si vynést všechny a pak pomocí výsledné tabulky zjišťovat tyto pravděpodobnosti. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Tentokrát se zaměříme na podmíněnou
pravděpodobnost. Podívejte se na následující úlohu a
zkuste jí, jako vždy, vyřešit samostatně. Nejprve si ujasníme, že šestistěnná kostka
má na svých stěnách čísla 1 až 6, zatímco čtyřstěnná kostka má na svých
stěnách
čísla jedna až čtyři. Má tvar čtyřstěnu. Pojďme si udělat tabulku, která nám
znázorní
všechny možné výsledky tohoto pokusu. Sloupce budou označovat výsledky na šesti
stěnné kostce
a řádky budou označovat výsledky na čtyř stěnné kostce. Dostáváme tak tabulku se
šesti sloupci a čtyřmi řádky
a každá její vnitřní buňka znázorňuje jeden výsledek pokusu. Například tato buňka znázorňuje situaci,
kdy na šestistěnné kostce padne pětka. a na čtyřstěnné kostce dvojka. Nyní se pustíme do výpočtu
jednotlivých pravděpodobností. Nejprve si znázorníme jev A do naší
tabulky,
to jsou všechny buňky, pro které sloupec i řádek má stejnou
hodnotu,
tedy 1 1, 2 2, 3 3 a 4 4. Více možností zde není. To znamená, že pravděpodobnost tohoto jevu
je zlomek,
kdy v čitateli je čtyřka, protože máme 4 příznivé výsledky a ve jmenovateli 24, protože celkem máme 6
krát 4,
24 různých výsledků tohoto pokusu. To můžeme ještě zkrátit jako jednu
šestinu. Podobně určíme pravděpodobnost jevu B. Nejprve si ho vyznačíme do tabulky. Tentokrát to jsou všechny buňky ve čtvrtém
sloupci,
neboť to je situace, kdy čtyřka padla na šestistěnné kostce a
všechny buňky ve čtvrtém řádku, neboť to je situace, kdy čtyřka padla
na čtyřstěnné kostce. Máme tady dokonce jednu buňku,
kdy čtyřka padla na obou kostkách. To také vyhovuje jevu B. Vidíme, že tak máme 9 příznivých výsledků
z dvaceti čtyř možných. Pravděpodobnost je tak devět dvaceti
čtvrtin
neboli tři osminy. Na další pravděpodobnost si necháme trochu
víc místa. Budeme pokračovat zde. Jedná se o
podmíněnou pravděpodobnost,
kdy podmínkou je jev B. Tedy všechny výsledky omezujeme pouze na
ty,
které patří do jevu B a z nich vybíráme. To znamená, že ve jmenovateli bude počet
výsledků v jevu B,
to je 9. A nyní se podíváme na výsledky, které spadají do jevu A,
ty jsou příznivé. Ale pozor, bereme jenom ty,
které jsou součástí jevu B. A to je pouze tento jeden. Dostáváme tak pravděpodobnost jedna
devítina. Podobně vypočítáme pravděpodobnost jevu B
za podmínky A,
tentokrát se tak omezujeme pouze na výsledky, které jsou součástí jevu A,
to jsou čtyři výsledky znázorněné růžově. Tyto čtyři. To znamená, že ve jmenovateli
budeme mít číslo čtyři a z těchto čtyř
vybíráme příznivé výsledky, které jsou součástí
jevu B. Ten je opět pouze jeden, tento. Dostáváme tak pravděpodobnost jedna
čtvrtina. Nyní se podíváme na další pravděpodobnost
a to sice tu, že oba jevy nastanou současně. To znamená, že na obou kostkách
padne
stejné číslo a alespoň na jedné kostce padne čtyřka. Tomu vyhovuje pouze jediný
výsledek, a sice
když na obou kostkách padnou čtyřky. Ten máme zde, a jeho pravděpodobnost je
tak
jedna ku dvaceti čtyřem. Nakonec zde máme dva výrazy, do kterých už
jen stačí
dosadit dříve vypočtené hodnoty. U prvního výrazu násobíme pravděpodobnost
jevu A, to je jedna šestina, krát podmíněnou pravděpodobnost B za
podmínky A,
což je jedna čtvrtina. Dostáváme tak pravděpodobnost jedna
lomeno šest krát čtyři,
což je jedna ku dvaceti čtyřem. Všimněme si, že je stejná jako
pravděpodobnost,
kterou jsme počítali jako poslední. U posledního výrazu dosazujeme
pravděpodobnost jevu B,
to je tři osminy, a pravděpodobnost jevu A za podmínky B, což jsme také už dříve spočítali
a je to jedna devítina. Tyto zlomky můžeme mezi sebou zkrátit
trojku a devítku
a dostáváme tak výsledek opět jedna ku dvaceti čtyřem. To už je poměrně velká
náhoda. Pojďme se podívat co nám to tady vychází
obecně. Pravděpodobnost, že oba jevy nastanou
současně,
je stejná jako pravděpodobnost, že nastane jeden jev krát pravděpodobnost, že
nastane druhý za podmínky prvního,
tedy pravděpodobnost jevu B za podmínky A. A můžeme to i otočit. Rovná se to pravděpodobnosti jevu B krát
pravděpodobnosti jevu A za podmínky B. Když si rozmyslíme, co tyto součiny
znamenají,
uvidíme, že to dává smysl. Nejprve pravděpodobnost jevu A,
ta omezí všechny naše výsledky pouze na
ty, které jsou součástí jevu A. Dále násobíme pravděpodobností jevu B, ale za podmínky A. To znamená, z těch výsledků,
které už jsou v jevu A, se omezíme pouze na ty,
které jsou v jevu B. Součinem tyto podmínky zkombinujeme
a vychází nám tak pouze výsledky, které jsou součástí jak jevu A, tak jevu B
. Můžeme postupovat i opačně, jak ukazuje další řádek,
kdy se nejprve omezíme na výsledky z jevu
B a potom z nich vybereme pouze ty,
které jsou součástí i jevu A. Tak jako tak dostáváme pravděpodobnost,
že oba dva jevy nastanou současně.