If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Podmíněná pravděpodobnost

Evžen hází dvěma kostkami – šestistěnnou a čtyřstěnnou. Budou nás zajímat jevy: A – Na obou kostkách padnou stejná čísla. B – Alespoň na jedné kostce padne číslo 4. Máme určit pravděpodobnosti několika zajímavých kombinací těchto jevů. Vyzkoušíme si vynést všechny a pak pomocí výsledné tabulky zjišťovat tyto pravděpodobnosti. Tvůrce: Sal Khan.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Transkript

Tentokrát se zaměříme na podmíněnou pravděpodobnost. Podívejte se na následující úlohu a zkuste jí, jako vždy, vyřešit samostatně. Nejprve si ujasníme, že šestistěnná kostka má na svých stěnách čísla 1 až 6, zatímco čtyřstěnná kostka má na svých stěnách čísla jedna až čtyři. Má tvar čtyřstěnu. Pojďme si udělat tabulku, která nám znázorní všechny možné výsledky tohoto pokusu. Sloupce budou označovat výsledky na šesti stěnné kostce a řádky budou označovat výsledky na čtyř stěnné kostce. Dostáváme tak tabulku se šesti sloupci a čtyřmi řádky a každá její vnitřní buňka znázorňuje jeden výsledek pokusu. Například tato buňka znázorňuje situaci, kdy na šestistěnné kostce padne pětka. a na čtyřstěnné kostce dvojka. Nyní se pustíme do výpočtu jednotlivých pravděpodobností. Nejprve si znázorníme jev A do naší tabulky, to jsou všechny buňky, pro které sloupec i řádek má stejnou hodnotu, tedy 1 1, 2 2, 3 3 a 4 4. Více možností zde není. To znamená, že pravděpodobnost tohoto jevu je zlomek, kdy v čitateli je čtyřka, protože máme 4 příznivé výsledky a ve jmenovateli 24, protože celkem máme 6 krát 4, 24 různých výsledků tohoto pokusu. To můžeme ještě zkrátit jako jednu šestinu. Podobně určíme pravděpodobnost jevu B. Nejprve si ho vyznačíme do tabulky. Tentokrát to jsou všechny buňky ve čtvrtém sloupci, neboť to je situace, kdy čtyřka padla na šestistěnné kostce a všechny buňky ve čtvrtém řádku, neboť to je situace, kdy čtyřka padla na čtyřstěnné kostce. Máme tady dokonce jednu buňku, kdy čtyřka padla na obou kostkách. To také vyhovuje jevu B. Vidíme, že tak máme 9 příznivých výsledků z dvaceti čtyř možných. Pravděpodobnost je tak devět dvaceti čtvrtin neboli tři osminy. Na další pravděpodobnost si necháme trochu víc místa. Budeme pokračovat zde. Jedná se o podmíněnou pravděpodobnost, kdy podmínkou je jev B. Tedy všechny výsledky omezujeme pouze na ty, které patří do jevu B a z nich vybíráme. To znamená, že ve jmenovateli bude počet výsledků v jevu B, to je 9. A nyní se podíváme na výsledky, které spadají do jevu A, ty jsou příznivé. Ale pozor, bereme jenom ty, které jsou součástí jevu B. A to je pouze tento jeden. Dostáváme tak pravděpodobnost jedna devítina. Podobně vypočítáme pravděpodobnost jevu B za podmínky A, tentokrát se tak omezujeme pouze na výsledky, které jsou součástí jevu A, to jsou čtyři výsledky znázorněné růžově. Tyto čtyři. To znamená, že ve jmenovateli budeme mít číslo čtyři a z těchto čtyř vybíráme příznivé výsledky, které jsou součástí jevu B. Ten je opět pouze jeden, tento. Dostáváme tak pravděpodobnost jedna čtvrtina. Nyní se podíváme na další pravděpodobnost a to sice tu, že oba jevy nastanou současně. To znamená, že na obou kostkách padne stejné číslo a alespoň na jedné kostce padne čtyřka. Tomu vyhovuje pouze jediný výsledek, a sice když na obou kostkách padnou čtyřky. Ten máme zde, a jeho pravděpodobnost je tak jedna ku dvaceti čtyřem. Nakonec zde máme dva výrazy, do kterých už jen stačí dosadit dříve vypočtené hodnoty. U prvního výrazu násobíme pravděpodobnost jevu A, to je jedna šestina, krát podmíněnou pravděpodobnost B za podmínky A, což je jedna čtvrtina. Dostáváme tak pravděpodobnost jedna lomeno šest krát čtyři, což je jedna ku dvaceti čtyřem. Všimněme si, že je stejná jako pravděpodobnost, kterou jsme počítali jako poslední. U posledního výrazu dosazujeme pravděpodobnost jevu B, to je tři osminy, a pravděpodobnost jevu A za podmínky B, což jsme také už dříve spočítali a je to jedna devítina. Tyto zlomky můžeme mezi sebou zkrátit trojku a devítku a dostáváme tak výsledek opět jedna ku dvaceti čtyřem. To už je poměrně velká náhoda. Pojďme se podívat co nám to tady vychází obecně. Pravděpodobnost, že oba jevy nastanou současně, je stejná jako pravděpodobnost, že nastane jeden jev krát pravděpodobnost, že nastane druhý za podmínky prvního, tedy pravděpodobnost jevu B za podmínky A. A můžeme to i otočit. Rovná se to pravděpodobnosti jevu B krát pravděpodobnosti jevu A za podmínky B. Když si rozmyslíme, co tyto součiny znamenají, uvidíme, že to dává smysl. Nejprve pravděpodobnost jevu A, ta omezí všechny naše výsledky pouze na ty, které jsou součástí jevu A. Dále násobíme pravděpodobností jevu B, ale za podmínky A. To znamená, z těch výsledků, které už jsou v jevu A, se omezíme pouze na ty, které jsou v jevu B. Součinem tyto podmínky zkombinujeme a vychází nám tak pouze výsledky, které jsou součástí jak jevu A, tak jevu B . Můžeme postupovat i opačně, jak ukazuje další řádek, kdy se nejprve omezíme na výsledky z jevu B a potom z nich vybereme pouze ty, které jsou součástí i jevu A. Tak jako tak dostáváme pravděpodobnost, že oba dva jevy nastanou současně.