If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:6:26

Transkript

Další množinovou operací je doplněk. Doplněk logicky odpovídá negaci, protože obsahuje vše, co není v dané množině. Doplněk definujeme jenom pro podmnožiny. Použijeme tento příklad, množinu A a B, kdy B je podmnožinou A. Potom můžeme definovat doplněk, který značíme takto: B s čarou s dolním indexem A. Znamená to doplněk množiny B v množině A. U doplňku musí být vždy jasné, v jaké množině ho sestrojujeme. Doplněk obsahuje všechny prvky, které nejsou v množině B, ale jsou v množině A. Hezky to můžeme vidět pomocí Vennova diagramu. Nakreslíme velikou množinu A a v ní uvnitř podmnožinu B. Nyní doplňkem množiny B v množině A je vše, co je v množině A, kromě toho, co je v množině B. Je to tedy takový prstenec okolo množiny B. Konkrétně se můžeme podívat na jednotlivé prvky této množiny. Patří sem ty prvky, které jsou pouze v množině A. Číslo 1 je v obou množinách, do doplňku tedy nepatří. Číslo 3 je pouze v A, číslo 5 také a patří tedy do doplňku a čísla 7 a 18 jsou v obou množinách. Doplněk je tedy pouze dvouprvkový, s čísly 3 a 5. Můžeme si všimnout, že jsme vlastně provedli rozdíl množin. Jako kdybychom od množiny A odečetli množinu B. Skutečně tomu tak je, doplněk je to samé co odčítání. Ale můžeme ho použít pouze na podmnožinu. Často, když počítáme doplňky, tak používáme stále stejnou nadmnožinu, ve které doplňky sestrojujeme. Proto je někdy výhodnější na začátku říct, v jaké množině doplňky sestrojujeme a pak už ji nemusíme znovu a znovu opakovat. Této množině se říká univerzální množina, nebo zkráceně univerzum. Značíme ji symbolem U a pokud se bavíme o číslech, tak zpravidla používáme nějaký známý číselný obor. V tomto případě můžeme použít třeba celá čísla. Stejně tak bychom ale mohli použít přirozená čísla, racionální čísla, reálná čísla nebo jakoukoli jinou množinu. Jedinou podmínkou je, že pracujeme pouze s prvky této univerzální množiny, protože doplněk sestrojujeme jenom u podmnožin. Při kreslení Vennova diagramu zakreslujeme univerzální množinu zpravidla jako obdélník. V tomto případě jsou univerzální množinou celá čísla. Do ní pak dovnitř dokreslujeme jednotlivé podmnožiny, třeba podmnožinu A. Jakmile máme univerzální množinu, nemusíme říkat, v jaké množině doplněk tvoříme. Můžeme tedy rovnou napsat A s čarou, což je doplněk množiny A, a samo sebou se rozumí, že to je doplněk k univerzální množině celých čísel. Když se tedy podíváme na jednotlivé prvky tohoto doplňku, tak například číslo 10 není prvkem množiny A, je to samozřejmě celé číslo, tedy leží v doplňku množiny A. Podobně číslo -3 není v množině A a to znamená, že musí být v jejím doplňku. Do Vennova diagramu můžeme číslo -3 zakreslit třeba sem. Opět platí, že doplněk je rozdíl množin, v tomto případě rozdíl univerzální množiny a dané množiny, ke které doplněk sestrojujeme.