If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:7:44

Transkript

Množiny jsou skupina objektů, například čísel. Uvažujme množinu A, která obsahuje čísla 3, 12, 5 a 15. Těmto objektům, v tomto případě číslům, říkáme prvky množiny. U množin nezáleží na pořadí, v jakém prvky zapíšeme, a prvky se nikdy neopakují. Uvažujme ještě 1 množinu, například B, která se skládá z čísel 14, 15, 6 a 3. Prvky vypisujeme do takzvaných složených závorek. Tím množinu odlišíme od vektorů, bodů v rovině, nebo intervalů. Podobně jako s čísly, nebo s logickými výroky, můžeme s množinami provádět různé operace, například průnik. Průnik množin značíme takovýmto symbolem ∩ a můžeme jej chápat jako logickou spojku a zároveň. Protože průnik vybírá z množin ty prvky, které jsou v obou množinách zároveň. Také trochu připomíná logickou spojku a zároveň. V tomto případě bude tedy průnik množin A a B následující. Prvek 3 je v obou množinách, proto bude i v průniku. Prvek 12 je v první množině, ale není ve druhé, stejně tak prvek 5 není ve druhé množině, ale prvek 15 je v obou množinách, bude tedy i v průniku. Průnik množin A a B je tak také množina, dvouprvková množina s čísly 3 a 15. Další základní operací je sjednocení. Sjednocení naopak vybírá všechny prvky, které jsou v jedné nebo ve druhé množině. Značí se takovýmto symbolem U. Logicky můžeme chápat tuto operaci jako nebo a symbol pro sjednocení také připomíná logickou spojku nebo. Tedy vybíráme ty prvky, které jsou v jedné nebo ve druhé množině. Rovnou tedy můžeme do sjednocení zařadit všechny prvky z první množiny, to je 3, 12, 5 a 15. A poté zařadíme prvky ze druhé množiny, číslo 14, ale pozor, prvky se v množině nesmí opakovat. Prvek 15 tedy už znovu nepíšeme, prvek 6 ano, ten jsme ještě nepsali, a prvek 3 už opět máme zařazený. Sjednocením množin A a B je tak šestiprvková množina s těmito čísly. Množinové operace často znázorňujeme pomocí takzvaného Vennova diagramu. Vennův diagram graficky znázorní, co se s množinami děje a které prvky vybíráme. Nejprve si znázorníme množinu všech přirozených čísel, se kterými pracujeme. Tu značíme speciálním symbolem N. A nyní si vyznačíme množiny A a B. V celé množině tedy určitě najdeme čísla 3, 12, 5 a 15, které tvoří množinu A. Dále zde najdeme čísla 14 a 6, které dohromady s již napsanými čísly 3 a 15, tvoří množinu B. A dále zde najdeme spoustu čísel, které nejsou ani v množině A, ani v množině B například 1, 7, 9. Na diagramu dobře můžeme vidět průnik obou množin, tedy to, co mají obě množiny společného. V tomto případě čísla 3 a 15. Tedy průnik je jak geometricky, tak množinově, to, co mají obě množiny společného. Podobně můžeme vidět sjednocení, to jest všechny prvky, které jsou alespoň v 1 množině nebo v obou a graficky, geometricky, tak dostáváme sjednocení dvou kruhů, může nám to připomínat třeba brýle, zkrátka množinu, která obsahuje všech šest čísel, které se nacházejí v jedné nebo ve druhé množině. Podívejme se ještě na 2 příklady. Uvažujme množiny C a D s těmito prvky. A zkusme si určit nejprve průnik množin C a D. Ten obsahuje ta čísla, která jsou v obou množinách. Číslo 11 není ve druhé množině, číslo 4 ano, tedy je i v průniku, a číslo 12 je také v obou množinách, je tedy v průniku, číslo 7 není ve druhé množině, není tedy ani v průniku. Připomeňme, že nezáleží na pořadí, v jakém čísla, nebo prvky množiny, vypíšeme. Pokud bychom začali s množinou D, dostali bychom průnik 12, 4. Tyto 2 množiny jsou zcela ekvivalentní. Sjednocení naopak zahrnuje všechny prvky, které jsou alespoň v 1 množině. Můžeme tedy nejprve opsat celou první množinu, množinu C, která obsahuje čísla 11, 4, 12 a 7. A nyní připíšeme čísla, která jsme ještě nezapsali, tedy 13, 10 a 3. A tím dostaneme sjednocení množin C a D.