Experimentální a teoretická pravděpodobnost - simulace

Budeme si ilustrovat vztah experimentální a teoretické pravděpodobnosti pomocí simulace házení mincí. Máme k dispozici takovýto applet který nám simuluje hody mincí, zapisuje a zobrazuje jejich výsledky. Nemusíme pracovat se spravedlivou mincí, můžeme si nastavit libovolnou pravděpodobnost toho, že padne panna, od nuly do sta procent. Ale budeme pracovat se spravedlivou mincí, protože tu už máme dobře prozkoumanou. Dále si můžeme nastavit počet hodů, které chceme simulovat, začneme s menším počtem hodů, například s deseti. Dále si můžeme zobrazit teoretickou pravděpodobnost, tedy linku, která nám říká, ke které hodnotě bychom očekávali, že se ta experimentální pravděpodobnost bude blížit. Tlačítkem házej spustíme simulaci a v tu chvíli počítač začne simulovat házení mincí a zde bude zobrazovat, kolik padlo panen, kolik padlo orlů a my tak rovnou uvidíme jejich poměr a zároveň jej bude vykreslovat do grafu. Do grafu bude zakreslovat podíl panen, které doposud padly. Pojďme na to. Vidíme, že při prvním hodu nám padla panna, proto na začátku máme podíl 1 panna ku 1 hodu, tedy 100 % panen. Poté padl orel, dostali jsme se tedy na ideální hodnotu teoretické pravděpodobnosti, od které jsme se následně zase odchýlili, a nyní vidíme, že po 10 hodech máme 7 panen a 3 orly. Zákon velkých čísel nám říká, že s přibývajícím počtem experimentů bychom se měli postupně přibližovat k teoretické hodnotě pravděpodobnosti, tedy tato křivka, která nám zakresluje poměr panen, by se měla postupně přibližovat k zelené vodorovné čáře, která označuje teoretickou pravděpodobnost. Zkusme ještě dalších 10 hodů. Vidíme, že jsme se o něco přiblížili, při těchto počtech je to spíše náhoda, máme za sebou 20 hodů a teoretická pravděpodobnost je samozřejmě 50 %, experimentální je 55 % v tuto chvíli. Takto můžeme pokračovat dál, ale možná je načase trochu zrychlit simulaci a přidat dalších 100 hodů. Vidíme, že stále převažuje počet… A tak už ne, nyní se počty poměrně dost vyrovnaly, ale ještě se zase odchylují od teoretické pravděpodobnosti a zpátky se k ní vracejí. Nyní jsme tedy na hodnotě 52 % panen, přibližně, a budeme pokračovat dál, přidáme dalších 200 hodů. Také si můžeme všimnout, že křivka už neskáče tolik, jako na počátku, kdy opravdu jsme měli i 100 % panen, poté zase 85 % panen a postupně ty oscilace, nebo ty výkyvy, jsou menší a menší, přesně o tom hovoří zákon velkých čísel. Vidíme, že podíl panen už se příliš nevzdaluje, i když tady ještě trochu ano, od teoretické pravděpodobnosti. Máme za sebou 320 hodů a experimentální pravděpodobnost 49,7 %. Pojďme ještě dál. A nyní vidíme, že už ani nenastávají nějaké velké výkyvy, poslední větší výkyv byl zhruba zde, někde okolo 200 hodů, a nyní už se skutečně hodnoty drží velmi blízko teoretické hodnoty. Dobře to vidíme i na průběžně aktualizovaných procentech nebo na podílech panen a orlů, že opravdu už pod… Teď jsme zrovna klesli pod 49 %, ale držíme se přibližně v toleranci 1 % od teoretické pravděpodobnosti. Můžeme to zkusit ještě jednou, možná toto byla náhoda, možná máme výjimečně veliké štěstí. Zkusíme celý experiment zresetovat a začít opět třeba jenom s deseti hody. Tak vidíme, že nyní jsou odchylky opět veliké, nyní převažují orli. Máme 80 % orlů po deseti hodech. Po dalších deseti hodech máme 60 % orlů, tedy stále poměrně veliká převaha. Opět zrychlíme a uvidíme, jak se bude křivka vyvíjet. Očekáváme podle zákona velkých čísel, že se zase bude přibližovat teoretické pravděpodobnosti a už u ní zůstane. Vidíme, že stačilo 220 hodů a jsme poměrně blízko teoretické pravděpodobnosti. Myslím, že se od ní ještě možná trochu odchýlíme, uvidíme. Dostali jsme se poměrně daleko, na 47 % panen, na 53 % orlů. Experiment zde ukončíme, kdybyste si jej ale chtěli vyzkoušet sami, a třeba i s jinými hodnotami, s nespravedlivou mincí a podobně, tak odkaz na tento applet naleznete pod videem.