If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:10:43

Transkript

Tentokrát nás čeká sčítání pravděpodobností. Nejprve si koncept ukážeme na příkladu a pak jej zobecníme. Budeme náhodně vybírat dílky z dřevěné stavebnice. Jsou tam žluté krychle, kterých je 8, dále žluté jehlany, kterých je devět. Potom fialové krychle, kterých je pět. A konečně fialové jehlany, kterých je sedm. Nejprve si ukážeme pár základních pravděpodobností. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme krychli? Je jedno, jestli žlutou nebo fialovou. Ve stavebnici máme osm žlutých a pět fialových, to je celkem 13 krychlí. A celkem máme ve stavebnici osm plus devět plus pět plus 7, to je 29 těles. Tedy 29 možných výsledků, z toho 13 příznivých. Pravděpodobnost je 13/29. Za druhé. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme žluté těleso. Ve stavebnici máme žluté krychle a jehlany, kterých je celkem osm plus devět, tedy 17, 17 příznivých výsledků a opět 29 těles, tedy 17 lomeno 29. Za třetí. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme krychli a zároveň žluté těleso? To splňuje jenom jeden typ. To jsou žluté krychle, kterých je ve stavebnici osm. Dostáváme tak pravděpodobnost osm ku dvaceti devíti. Než přejdeme k dalšímu výpočtu, na kreslíme si tyto jevy do Vennova diagramu. Celková takzvaná univerzální množina je množina všech těles. Těch je 29. V této množině najdeme jednak podmnožinu všech krychlí, kterých je celkem třináct. A jednak množinu všech žlutých těles. Těch je celkem sedmnáct. A co mají tyto dvě množiny společné? Takzvaný průnik. To jsou přesně žluté krychle, jejichž pravděpodobnost vytažení jsme počítali ve třetím příkladu a těch je osm. Co takhle pravděpodobnost, že vytáhneme krychli nebo žluté těleso. Samozřejmě to připouští i žlutou krychli. Stále platí, že máme celkem 29 těles ve stavebnici, tedy 29 všech možných výsledků. V čitateli potřebujeme počet příznivých výsledků. Samozřejmě bychom mohli spočítat všechna tělesa, která vyhovují této podmínce. My bychom chtěli ale nějaký chytřejší postup, který bychom pak mohli zobecnit do vzorce. Pokud se ptáme na situace, kdy nastane jeden nebo druhý jev nebo oba zároveň, jedná se o takzvané sjednocení, sjednocení množin nebo sjednocení jevů. Tedy množinu, která obsahuje oba dva jevy. Mohlo by nás logicky napadnout sečíst počty prvků jednotlivých množin, 13 krychlí máme ve stavebnici a 17 žlutých těles, sjednocení by tedy mohlo mít velikost 13 plus 17. Jenže pozor, osm žlutých krychlí jsme započítali jak v množině krychlí, kterých je pět fialových a osm žlutých, tak jsme započítali žluté krychle mezi žlutá tělesa, kterých je devět jehlanů a osm krychlí. To znamená, že to, co mají množiny společné, takzvaný průnik, jsme započítali dvakrát. Musíme ho tedy jednou odečíst, aby v celkovém součtu byl jenom jednou. Nyní už máme správný počet příznivých výsledků. Nyní zlomek rozepíšeme na dílčí části, které odpovídají jednotlivým jevům. Ve stavebnici je 13 krychlí, 17 žlutých těles a musíme odečíst osm žlutých krychlí, které jsme započítali dvakrát. Jednotlivé podíly odpovídají pravděpodobnostem jednotlivých jevů, které jsme spočítali na začátku. 13 dvaceti devítin odpovídá pravděpodobnosti, že vytáhneme krychli. Dále 17 dvaceti devítin odpovídá pravděpodobnosti, že vytáhneme žluté těleso. A konečně. Osm dvaceti devítin odpovídá pravděpodobnosti, že vytáhnete žlutou krychli, neboli krychli a zároveň žluté těleso. Je to takzvaný průnik dvou jevů. Nyní už můžeme vzoreček zobecnit. Potřebujeme na to ale trochu více místa, to je lepší. Vzoreček, který se chystáme napsat, se někdy nazývá vzoreček pro sčítání pravděpodobností, a nebo také vzorec pro pravděpodobnost sjednocení jevů. Každopádně vychází z konkrétního příkladu, který jsme si teď ukázali. Pokud si jevy označíme jako A a B, tedy A vytáhneme krychli a B vytáhneme žluté těleso, pak jev, že vytáhneme krychli nebo žluté těleso je takzvaným sjednocením, A sjednoceno s B. A na druhé straně rovnosti vidíme, že vystupuje pravděpodobnost jevu A, pravděpodobnost jevu B a pravděpodobnost, že nastanou oba dva jevy zároveň. Neboli pravděpodobnost průniku obou jevů. Obecně tak můžeme zapsat, že pravděpodobnost sjednocení dvou jevů, A sjednoceno s B, je rovna pravděpodobnosti prvního jevu, tedy pravděpodobnosti jevu A plus pravděpodobnost druhého jevu, pravděpodobnost B minus pravděpodobnost průniku obou jevů, protože tuto pravděpodobnost jsme započítali jak v jevu A, tak v jevu B, musíme ji tedy jednou odečíst, stejně jako se žlutými krychlemi. Často můžeme narazit na situaci, kdy se dva uvažované jevy A a B takzvaně vzájemně vylučují. To znamená, že tyto jevy nemají nic společného, nemohou nastat zároveň. V našem příkladu se stavebnicí by mohl jev A být jev, že vybereme krychli, Zatímco jev B by mohl být, že vybereme jehlan. Je jasné, že nemůžeme vybrat zároveň krychli a jehlan v jednom tělese. A v takovém případě je pravděpodobnost průniku 0, tedy tyto jevy nemohou nastat současně, je to nemožný jev, jejich průnik, a v tom případě je pravděpodobnost jejich sjednocení velice jednoduchá, je to prostý součet pravděpodobností. Dokonce i v případě, že bychom měli jevů víc, které se všechny po dvojicích vzájemně vylučují. Pak pravděpodobnost jejich sjednocení je součet pravděpodobností. Obecně to ale neplatí. Nechme si proto obecnější vzoreček, který počítá i s tím, že průnik jevů má nenulovou pravděpodobnost.