Hlavní obsah
Kurz: Pravděpodobnost a kombinatorika > Kapitola 2
Lekce 1: Pravděpodobnost – úvodMonty Hallův problém (paradox)
Uděláme si myšlenkový experiment, kterému se říká Monty Hallův problém (nebo paradox), podle moderátora jednoho televizního kvízu. Jaké dveře byste si vybrali vy? Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Podíváme se na známý Monty Hall problém.
Ten vychází z americké televizní soutěže Let´s make a deal. Někdy se nazývá také Monty Hallův paradox. Paradox proto, že spoustu lidí je překvapeno finálním, matematicky správným výsledkem tohoto problému.
Situace je následující: Soutěžící je postaven před troje dveře.
Označme je čísly 1, 2, 3. A víme, že za 1 dveřmi se nachází
cenná výhra, například automobil, zatímco za zbylými dvěma něco
méně cenného, často se uvádí koza. Soutěžící si zvolí 1 ze tří dveří a poté,
to je klíčové, moderátor otevře 1 dveře, jiné dveře, za kterými je koza. A nyní dá soutěžícímu možnost změnit
svoji volbu na zbývající zavřené dveře. Otázka je, jestli se tato změna volby
soutěžícímu vyplatí, nebo ne, z hlediska pravděpodobnosti. Zastavte si video a zkuste si
situaci rozmyslet sami. Je důležité říct, že moderátor ví, za
kterými dveřmi je auto a kde jsou kozy. A ať už si soutěžící vybere jakékoli
dveře, moderátor otevře 1 jiné dveře, za kterými je koza, a nabídne soutěžícímu
změnit svou volbu na druhé zavřené dveře. Pokud máte rozmyšleno,
podíváme se na řešení. Nejprve se podívejme, jak funguje
změna nebo neměna volby dveří. Uvažujme následující rozdělení
odměn: koza, auto, koza; a podívejme se, kdy se vyplatí změnit. Pokud si soutěžící vybere první dveře,
moderátor musí otevřít třetí dveře a za zbývajícími zavřenými je tedy auto.
Vyplatí se změnit. Pokud si soutěžící vybere
druhé dveře s autem, moderátor může otevřít
první nebo třetí dveře. Dejme tomu, že otevře první,
a soutěžící by tak měnil na třetí dveře, za kterými je koza, což se nevyplatí.
A poslední, třetí možnost. Pokud si soutěžící vybere
dveře číslo 3 s kozou, moderátor musí otevřít dveře číslo 1 a zbývající zavřené dveře opět skrývají
auto a změna dveří se tedy vyplatí. Z této úvahy už je možná
zřejmé správné řešení, ale podíváme se ještě na pravděpodobnosti
výhry v případě obou strategií. Nejprve tedy strategie první: Neměnit, neměnit, za žádnou
cenu neměnit svou volbu. V takovém případě je úplně jedno,
co dělá moderátor po naší volbě, jaké dveře otvírá. Nám zůstává
pravděpodobnost z první volby. Máme tedy troje dveře, za jedněmi je auto. Pravděpodobnost, že si vybereme
dveře s autem je 1 ku 3. A pravděpodobnost, že si vybereme
dveře s kozou, je 2 ku 3. Pokud tedy chcete kozu,
je to jistě dobrá strategie, pokud chcete auto, máme pouze
třetinovou šanci v tomto případě. Druhá strategie: Měnit,
vždy měnit volbu dveří. A ta strategie je o něco složitější, protože nám do hry vstupuje
moderátor a informace od něj. Jak se při této strategii
dopracovat k autu? Jediná možnost, je napoprvé
vybrat dveře, za kterými je koza. Podívejme se na náš rozpis. Pokud vybereme dveře
číslo 1, za kterými je koza, moderátor musí otevřít dveře číslo 3
a my tak změnou dveří získáme auto. Podobně, pokud vybereme
třetí dveře, za kterými je koza, moderátor musí otevřít dveře číslo 1
a nám tak zbývají dveře číslo 2, na které můžeme změnit
svou volbu a získat auto. Auto tedy pří této strategii
získáme ve 2 případech ze 3. A kozu pouze v 1 ze 3
případů a to v té situaci, když napoprvé vybereme
dveře, za kterými je auto. Pak moderátor otevře 1 ze 2
zbývajících dveří s kozou a my bychom změnili, nebo změníme,
volbu na druhé dveře s kozou. Pokud tedy chceme auto, je rozhodně lepší,
dokonce dvakrát lepší, měnit původní volbu.