Výpočet podmíněné pravděpodobnosti (příklad)

Tato úloha je zaměřená na podmíněnou pravděpodobnost. My si na ní ale ilustrujeme závislost a nezávislost jevů, která s podmíněnou pravděpodobností úzce souvisí. Nejprve si pojďme úlohu prostudovat. Na střední škole byla uspořádaná anketa, ve které celkem 100 respondentů odpovědělo na to, jakou super schopnost by nejraději chtěli mít. V tabulce níže jsou uvedeny jejich odpovědi. Nás budou zajímat dva jevy. Jev dívka, tedy jev, že náhodně vybraný respondent je dívka, a jev létat, tedy že náhodně vybraný respondent si jako super schopnost vybral létání. Bude nás zajímat, jestli jsou tyto dva jevy nezávislé. Jako vždy doporučuji, zastavte si video a zkuste si na otázku odpovědět sami. Nezávislost můžeme otestovat několika způsoby, například tak, že si u jednoho z jevů vypočítáme prostou pravděpodobnost, tedy pravděpodobnost jevu létat, a podmíněnou pravděpodobnost podmíněnou právě druhým jevem. Tedy létat za podmínky dívka. Jevy jsou nezávislé, pokud jsou tyto pravděpodobnosti stejné. Jinými slovy, pokud pravděpodobnost létání není ovlivněna tím, jestli se jedná o dívku, nebo jestli se jedná o náhodného respondenta. Pojďme si pravděpodobnosti vypočítat. Z tabulky zjistíme, že létání si vybralo celkem 40 respondentů z celkového počtu 100 respondentů. Pravděpodobnost je tak 40 ku 100 neboli 40 procent. Nyní se zaměříme na podmíněnou pravděpodobnost, podmínka dívka nás omezuje pouze na tento sloupec. Je tam celkem 48 respondentů, 48 dívek a z toho 10 si vybralo jako super schopnost létání. Deset lomeno čtyřiceti osmi dává přibližně 21 procent, což rozhodně není totéž jako 40 procent. Proto víme, že tyto dva jevy nejsou nezávislé, neboli jsou závislé. Závislost a nezávislost je symetrická vlastnost, tedy pokud dívka a létat jsou nezávislé, pak samozřejmě i létat a dívka jsou nezávislé. Můžeme si to ověřit. Vypočítáme totéž tentokrát pro dívku. Tedy pravděpodobnost, že náhodně vybraný respondent je dívka, to je čtyřicet osm procent. A pravděpodobnost, že respondent je dívka za podmínky, že si vybrali jako super schopnost létání. Tato podmínka nás omezí na první řádek tabulky, který odpovídá super schopnosti létat. V tomto řádku je celkem 40 respondentů a z toho pouze 10 jsou dívky. Dostáváme tak pravděpodobnost 10 ku čtyřiceti neboli 25 procent. Jsou to jiné pravděpodobnosti než minule, ale důležité je, že nejsou stejné, tedy jevy jsou skutečně závislé. Další způsob, jakým můžeme o závislosti a nezávislosti rozhodnout, je vypočítat pravděpodobnost průniku těchto jevů, tedy pravděpodobnost, že náhodně vybraný respondent je dívka a zároveň si vybrala jako super schopnost létání. Z tabulky vidíme, že takových respondentů je 10 z celkového počtu 100. Což je deset procent. A pokud by jevy byly nezávislé, pak se to musí rovnat součinu pravděpodobností jednotlivých jevů. To znamená, pravděpodobnost dívka krát pravděpodobnost létat. Pravděpodobnost jevu dívka je 48 procent. Pravděpodobnost létání je 40 procent. Což po vynásobení dává přibližně 19 procent. To rozhodně není deset procent, to znamená i touto metodou vidíme, že se skutečně nejedná o nezávislé jevy.