Jak ověřit, jestli jsou na sobě jevy nezávislé

Tato úloha vypadá poměrně složitě, se slovním zadáním, s mnoha možnostmi na výběr, ale uvidíme, že se vlastně jedná o jednu jednoduchou otázku, která je parafrázovaná několika různými způsoby. Úloha hovoří o osmi krabičkách, tak si je pro ilustraci pojďme nakreslit. Šest je modrých a dvě jsou zelené. Dále víme, že ve třech modrých krabičkách je překvapení, tak ho tam umístíme a také je v jedné zelené. Dále máme zadefinované jevy A, vybraná krabička obsahuje překvapení, a B, vybraná krabička je zelená. Dále máme několik možností, které pracují s pravděpodobnostmi těchto jevů. Pojďme tedy vypočítat nejprve prosté pravděpodobnosti jevů A a B. Pravděpodobnost jevu A vypočítáme jako zlomek, kdy z osmi krabiček máme vybrat tu s překvapením, takové jsou čtyři. Dostáváme tak pravděpodobnost čtyři osminy, což je po zkrácení čtyřmi jedna polovina. Nyní se podíváme na pravděpodobnost jevu B, tedy že náhodně vybraná krabička je zelená. Zelené krabičky jsou dvě z osmi možných. Dostáváme tak pravděpodobnost dvě osminy, po zkrácení jedna čtvrtina. Úloha se týká nezávislosti jevů. K jejímu zjištění můžeme použít pravděpodobnost průniku jevů A a B, tedy pravděpodobnost, že nastanou oba zároveň. Neboli že vybereme zelenou krabičku s překvapením. Taková je jedna jediná a z osmi možných stále, čímž dostáváme pravděpodobnost jedna osmina. Všimněme si, že to je stejná hodnota jako součin pravděpodobností jevů A a B. Tedy jedna osmina se rovná jedna polovina krát jedna čtvrtina. Vidíme tak, že poslední nabízená možnost je správná. Tedy pravděpodobnost, že nastanou oba jevy zároveň, je rovna součinu jejich pravděpodobností. No jo, jenže to je definice nezávislosti jevů, tedy tím pádem víme, že jevy A a B jsou nezávislé, jejich pravděpodobnosti se neovlivňují. To znamená, že platí i první dvě varianty. Čtvrtá varianta neplatí, ta je opakem třetí. A tím je cvičení vyřešeno. Pro kontrolu si můžeme například vypočítat podmíněnou pravděpodobnost jevu B za podmínky A. Podmínka A nás tedy omezuje pouze na krabičky s překvapením a jev B nám říká, že máme vybrat zelenou. Taková je mezi krabičkami s překvapením jen jedna. Dostáváme tak pravděpodobnost jedna čtvrtina, což je přesně i samotná pravděpodobnost jevu B. Stejně bychom mohli prověřit i první variantu s podmíněnou pravděpodobností jevu A. Ale je to zbytečné. Jakmile víme, že jsou jevy nezávislé, určitě platí i první dvě rovnosti. A zároveň tyto dvě rovnosti nebo každá z nich samostatně stačí k ověření nezávislosti. Takže například jsme mohli spočítat pravděpodobnost jevu A, poté podmíněnou pravděpodobnost jevu A za podmínky B, jak o tom hovoří první možnost, a pokud by to vyšlo, pak jsou jevy nezávislé a platí první, druhá, třetí a pátá možnost, a zároveň pokud by to nevyšlo, víme, že nic z toho neplatí, a jevy se navzájem ovlivňují. To znamená, nezávislost se poměrně snadno ověří nebo vyvrátí.