Hlavní obsah
Pravděpodobnost a kombinatorika
Kurz: Pravděpodobnost a kombinatorika > Kapitola 2
Lekce 9: Podmíněná pravděpodobnost- Výpočet podmíněné pravděpodobnosti (Bayesova věta)
- Podmíněná pravděpodobnost názorně
- Výpočet podmíněné pravděpodobnosti (Bayesova věta)
- Podmíněná pravděpodobnost a stromové diagramy: lékařské testy
- Výpočet podmíněné pravděpodobnosti (příklad)
- Jak ověřit, jestli jsou na sobě jevy nezávislé
- Závislé a nezávislé jevy
Jak ověřit, jestli jsou na sobě jevy nezávislé
Máme osm krabiček, 6 je modrých a 2 jsou zelené, jsou v neprůhledném sáčku, překvapení je ve 3 modrých a v 1 zelené. Rozebereme si možnost jevu A, kdy je vylosována krabička s překvapením, a jevu B, kdy je vylosována zelená krabička. Ukážeme si řešení cvičení, ve kterém jsou v nabídce k výběru 4 tvrzení k tomuto příkladu, a zamyslíme se nad tím, jak obecně ověřit nebo vyvrátit nezávislost jevů. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Tato úloha vypadá poměrně složitě, se
slovním zadáním, s mnoha možnostmi na výběr, ale uvidíme, že se vlastně jedná o jednu
jednoduchou otázku, která je parafrázovaná několika různými způsoby. Úloha hovoří o osmi krabičkách, tak si je pro
ilustraci pojďme nakreslit. Šest je modrých a dvě jsou zelené. Dále víme, že ve třech modrých krabičkách
je překvapení, tak ho tam umístíme a také je v jedné zelené. Dále máme zadefinované jevy A, vybraná
krabička obsahuje překvapení, a B, vybraná krabička je zelená. Dále máme několik možností, které pracují s
pravděpodobnostmi těchto jevů. Pojďme tedy vypočítat nejprve prosté
pravděpodobnosti jevů A a B. Pravděpodobnost jevu A vypočítáme jako zlomek, kdy z osmi
krabiček máme vybrat tu s překvapením, takové jsou čtyři. Dostáváme tak pravděpodobnost čtyři osminy,
což je po zkrácení čtyřmi jedna polovina. Nyní se podíváme na pravděpodobnost jevu B,
tedy že náhodně vybraná krabička je zelená. Zelené krabičky jsou dvě z osmi
možných. Dostáváme tak pravděpodobnost dvě osminy, po
zkrácení jedna čtvrtina. Úloha se týká nezávislosti jevů. K jejímu zjištění můžeme použít
pravděpodobnost průniku jevů A a B, tedy pravděpodobnost, že nastanou oba zároveň. Neboli že vybereme zelenou krabičku s
překvapením. Taková je jedna jediná a z osmi možných
stále, čímž dostáváme pravděpodobnost jedna osmina. Všimněme si, že to je stejná hodnota
jako součin pravděpodobností jevů A a B. Tedy jedna osmina se rovná jedna
polovina krát jedna čtvrtina. Vidíme tak, že poslední nabízená možnost je
správná. Tedy pravděpodobnost, že nastanou oba jevy
zároveň, je rovna součinu jejich pravděpodobností. No jo, jenže to je
definice nezávislosti jevů, tedy tím pádem víme, že jevy A a B jsou nezávislé, jejich
pravděpodobnosti se neovlivňují. To znamená, že platí i první dvě varianty. Čtvrtá varianta neplatí, ta je opakem
třetí. A tím je cvičení vyřešeno. Pro kontrolu si můžeme například vypočítat
podmíněnou pravděpodobnost jevu B za podmínky A. Podmínka A nás tedy omezuje pouze na
krabičky s překvapením a jev B nám říká, že máme vybrat zelenou. Taková je mezi krabičkami s překvapením jen
jedna. Dostáváme tak pravděpodobnost jedna
čtvrtina, což je přesně i samotná pravděpodobnost jevu B. Stejně bychom mohli prověřit i první
variantu s podmíněnou pravděpodobností jevu A. Ale je to zbytečné. Jakmile víme, že jsou jevy nezávislé, určitě
platí i první dvě rovnosti. A zároveň tyto dvě rovnosti nebo každá z nich samostatně
stačí k ověření nezávislosti. Takže například jsme mohli spočítat
pravděpodobnost jevu A, poté podmíněnou pravděpodobnost jevu A za podmínky B, jak o tom hovoří první možnost, a pokud by
to vyšlo, pak jsou jevy nezávislé a platí první, druhá, třetí a pátá možnost, a zároveň
pokud by to nevyšlo, víme, že nic z toho neplatí, a jevy se navzájem ovlivňují. To znamená, nezávislost se poměrně snadno
ověří nebo vyvrátí.