Výpočet podmíněné pravděpodobnosti (Bayesova věta)

Při řešení této slovní úlohy odvodíme jednu známou větu z oblasti pravděpodobnosti. Jako vždy doporučuji video nejprve zastavit a vyřešit si úlohu samostatně. Pojďme si nejprve označit jednotlivé jevy, abychom si uvědomili, co je vlastně naším úkolem. Máme zadáno, že pravděpodobnost, že Standa bude snídat jogurt, je 60 procent. Označme jev J. Jev, že si dá k obědu pizzu označme P. Ten má pravděpodobnost 50 procent. A dále zde máme podmíněnou pravděpodobnost, že nastane jev P. Tedy dá si pizzu za podmínky jevu J, tedy že měl k snídani jogurt je 70 procent. Naším úkolem je vypočítat obrácenou podmíněnou pravděpodobnost, tedy pravděpodobnost jevu J za podmínky jevu P. Pojďme si připomenout, co známe z minula. To jest způsob, jak vypočítat pravděpodobnost, že nastanou oba jevy zároveň, říkáme průnik nebo konjunkce jevů, můžeme značit průnikem nebo značkou pro a zároveň. Víme, že se to vypočítá jako pravděpodobnost jevu A krát podmíněná pravděpodobnost jevu B za podmínky A nebo i naopak jako pravděpodobnost jevu B krát pravděpodobnost jevu A za podmínky jevu B. Nyní si odmysleme prostřední část a podívejme se na levou a pravou stranu jako na rovnici. Všimněme si, že tam máme podmíněné pravděpodobnosti, které jsou navzájem převrácené. Jednou máme A za podmínky B, jednou máme B za podmínky A. Pojďme si vyjádřit podmíněnou pravděpodobnost na levé straně, osamostatníme ji a dostaneme tak vzoreček, jak obracet podmínku pravděpodobnosti. To zařídíme tak, že pravděpodobnost jevu B přesuneme z levé strany na pravou stranu. To znamená, vydělíme celou rovnici pravděpodobností jevu B. Tím dostáváme slavný vzorec, který nám říká, že pravděpodobnost jevu A za podmínky B můžeme vypočítat jako pravděpodobnost jevu A krát pravděpodobnost jevu B za podmínky A, tedy obrácená podmínka, lomeno pravděpodobností jevu B. Tento vzorec je užitečný právě proto, že převrací podmínku v pravděpodobnosti. Můžeme si všimnout, že skutečně je podmínka prohozená. Tento vzorec je poměrně slavný a jmenuje se Bayesova věta. A je základním kamenem pro celou oblast, které se říká Bayesovská statistika. Pojďme nyní tento vzorec použít na naši konkrétní úlohu. Chceme tedy spočítat pravděpodobnost jevu J za podmínky P, tedy jev J bude na místě jevu A a jev P bude na místě jevu B. Dostáváme tak, pravděpodobnost jevu J za podmínky P je rovna pravděpodobnosti jevu J krát pravděpodobnost jevu P za podmínky J lomeno pravděpodobností jevu P. Nyní už jen stačí dosadit hodnoty ze zadání a výsledek vypočítat. Pravděpodobnost jevu J je 60 procent, podmíněná pravděpodobnost jevu P za podmínky J je 70 procent neboli nula celá 7, a pravděpodobnost jevu P je 50 procent neboli nula celá 5. Můžeme to vypočítat zpaměti nebo s pomocí kalkulačky. Tak jako tak bychom se měli dopracovat ke stejnému výsledku, který je nula celá 84. Neboli 84 procent. Kdykoliv jsme v situaci, že známe pravděpodobnosti jednotlivých jevů a jednu podmíněnou pravděpodobnost, pak díky Bayesově větě můžeme vypočítat i pravděpodobnost převráceně podmíněnou.