Pravděpodobnost při hodu mincí

Podíváme se na mnoho hodů mincí, kdy už není možné použít výpis všech možných výsledků. Začněme ale se známými třemi hody. Bude nás zajímat pravděpodobnost, že při hodu třemi mincemi padne alespoň jedenkrát panna. Všechny možné výsledky už máme vypsané. Stačí tedy spočítat ty příznivé. Vidíme, že všechny první nebo prvních 7 výsledků je příznivých. Tam máme alespoň jednu pannu. Poslední není. Dostáváme tak 7 příznivých výsledků z osmi možných, což dává pravděpodobnost 7/8. Otázka je, jestli můžeme tuto úlohu vypočítat i bez použití výpisu všech možných výsledků. Odpověď je ano a stačí k tomu jeden chytrý trik. Uvědomíme si, že alespoň jedna panna znamená, že nepadnou samí orli. To ale můžeme vypočítat tak, že od sta procent, tedy naprosté jistoty, odečteme pravděpodobnost opačného jevu. Tedy jedna minus pravděpodobnost, že padnou samí orli, v tomto případě orel, orel, orel. A to je pravděpodobnost, kterou umíme vypočítat i bez výpisu výsledků. Jedná se totiž o tři nezávislé hody, v každém máme pravděpodobnost úspěchu 1/2. Je to tedy 1/2 krát 1/2 krát 1/2, což je 1/8. A po odečtení od jedničky dostáváme opět sedm osmin. Vraťme se ještě o krok zpět a rozmysleme si, proč tento postup funguje. A určitě platí, že pravděpodobnost, že nepadnou samí orli, a pravděpodobnost, že padnou samí orli, je dohromady 100 procent neboli 1. Je to jasné, protože tyto dva jevy, tento můžeme vyznačit zeleně, a samé orly můžeme označit například růžovou, tak tyto dva jevy dohromady pokrývají všechny možné výsledky, nemají nic společného, a tedy jejich pravděpodobnost dohromady musí dát sto procent. Takovým jevům říkáme opačné jevy. Často narazíme na situaci, kdy výpočet nějaké pravděpodobnosti není moc snadný, jako třeba zde alespoň jedna panna. Ale výpočet pravděpodobnosti opačného jevu je naopak snadný, jako zde jedna polovina krát jedna polovina krát jedna polovina. V takovém případě je dobré si toho všimnout a využít opačného jevu. Když už máme tuto rovnost, stačí jenom jednu pravděpodobnost převést na druhou stranu rovnosti a dostáváme vztah, který jsme použili k výpočtu. Pojďme se podívat na složitější příklad. Tentokrát budeme totiž mincí házet desetkrát. Provedeme deset hodů a zajímá nás opět, jaká je pravděpodobnost, že nám při deseti hodech padne alespoň jedna panna. A budeme postupovat úplně stejně. Všimneme si totiž, že tato podmínka říká, že nepadnou samí orli a nyní stačí tuto podmínku znegovat a pravděpodobnost odečíst od jedné. Dostáváme tak pravděpodobnost jedna minus pravděpodobnost, že padnou samí orli při deseti hodech, tedy 10 orlů po sobě. Jedná se o nezávislé hody a tedy deset orlů po sobě padne s pravděpodobností jedna polovina na desátou. Pokud umocňujeme zlomek, pak umocňujeme zvlášť čitatel a zvlášť jmenovatel. Jedna na desátou je jedna a vyjmenovat tedy zbývá dvě na desátou což je tisíc dvacet čtyři. Dostáváme tak jedna minus jedna tisíc dvaceti čtvrtina, což je tisíc dvacet tři lomeno tisíc dvaceti čtyřmi. Tedy pravděpodobnost hraničící s jistotou.