If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah
Aktuální čas:0:00Celková doba trvání:6:00

Transkript

V tomto videu budeme házet mincí a zkoumat, jaké jsou pravděpodobnosti různých jevů. Začneme jednoduše. Pokud jednou hodíme mincí, tak pravděpodobnost, že padne orel, budeme zkracovat P(O) a je to jedna polovina, protože máme jeden příznivý výsledek ze dvou možných. Stejně tak pravděpodobnost, že padne panna budeme zkracovat P(P) a tato pravděpodobnost je opět jedna polovina. Podívejme se nyní na situaci, kdy hodíme mincí dvakrát nebo hodíme dvěma mincemi. To je to samé. Zajímá nás pravděpodobnost, že při obou hodech padne orel. Pojďme se podívat, jaké jsou možné výsledky tohoto pokusu. Nemusí padnout žádný orel. Tedy 0 krát orel, může padnout 1 orel při jednom ze dvou hodů anebo může padnout dvakrát orel, což je přesně jev, který nás zajímá. Orel, orel neboli dvakrát orel. Máme tři možné výsledky, z toho jeden je příznivý. Pravděpodobnost je tedy jedna třetina. Vypadá to jednoduše. Bohužel je to špatně. Toto je velice častá chyba a chybovali jsme v tom, že jsme nevypsali poctivě všechny možné výsledky. Co konkrétně padne při kterém hodu. A to vždy musíme zvážit při výpočtu pravděpodobnosti. Pojďme to tedy udělat ještě jednou a pořádně. Při prvním i při druhém hodu padne panna. To je první možný výsledek a odpovídá našemu 0 krát orel. Pak ale nastává problém. Totiž může padnout panna při prvním hodu, orel při druhém nebo naopak orel při prvním a panna při druhém hodu. A to jsou dva různé výsledky, které my jsme označili jenom jedním výsledkem jedenkrát orel. Za čtvrté může padnout na obou mincích nebo při obou hodech orel, což odpovídá jevu dvakrát orel. Ve skutečnosti tak máme čtyři možné výsledky, přičemž ten poslední je jediný příznivý. Pravděpodobnost je tak jedna čtvrtina. Ne náhodou se jedna čtvrtina rovná jedna polovina krát jedna polovina, což je pravděpodobnost, že padne orel při prvním hodu, označíme O1 krát pravděpodobnost, že padne při druhém, označíme O2. Všimněme si, že náš původní jev OO je průnikem jevů O1 a O2, protože dva orli padnou, právě když padne orel při prvním hodu a zároveň při druhém hodu. Tím se dostáváme k zajímavému vztahu, že pravděpodobnost, že nastane jev O1 a zároveň jev O2, nastane tedy průnik těchto jevů, je roven součinu pravděpodobností O1 a O2. Pokud dva jevy splňují tuto rovnost, říkáme že jsou nezávislé. Toto je přesná matematická definice nezávislých jevů. Ve skutečnosti to znamená, že jevy se navzájem neovlivňují. To znamená, pokud jeden jev nastane, nemá to vliv na jev druhý. Je asi jasné, že jednotlivé hody jsou nezávislé a my tak díky tomuto vztahu můžeme počítat pravděpodobnosti různých složených jevů tak, že budeme násobit pravděpodobnosti z jednotlivých hodů. Občas se vyskytuje taková mylná představa, že pokud už padlo mnoho orlů za sebou, pak se nějak zvyšuje pravděpodobnost, že příště padne panna. To je samozřejmě nesmysl. Pojďme se ještě pro ilustraci podívat na tři hody mincí. Vypočítáme pravděpodobnost, že padne orel, panna, orel. V tomto pořadí. Podle vzorečku pro nezávislé jevy to znamená, že stačí vynásobit pravděpodobnost, že padne orel při prvním hodu, pravděpodobnost, že padne panna při druhém hodu a pravděpodobnost, že padne orel při třetím hodu. Všechny tyto jevy mají pravděpodobnost jedna polovina, takže stačí jednu polovinu umocnit na třetí. Výsledkem je jedna osmina. Pro nedůvěřivé posluchače se ještě podíváme na množinu všech možných výsledků, kde to uvidíme jednoznačně. Při výpisu všech možných výsledků je vždy dobré postupovat nějak systematicky, abychom na něco nezapomněli. Zde nejprve vypíšeme všechny možnosti, které začínají pannou. Poté všechny možnosti, které začínají orlem. V obou skupinách bychom měli dostat stejně výsledků, což je také dobrá kontrola, že jsme na žádný nezapomněli. Náš zkoumaný výsledek orel, panna, orel je zde. Je to jeden příznivý výsledek z osmi možných. Pravděpodobnost tedy skutečně je jedna osmina. Podívejme se ještě na související jev, který by mohl někdo zaměnit a sice, že padne dvakrát orel při třech hodech mincí. Vidíme, že tento jev obsahuje náš výsledek orel, panna, orel, ale ještě panna, orel, orel a také orel, orel, panna. Jeho pravděpodobnost je tak třikrát vyšší. Konkrétně tři osminy.