Nula faktoriál, neboli 0!

Kolik je nula faktoriál? je otázka, kterou vyřešíme v tomto videu. Pro začátek připomeňme, že faktoriál značíme vykřičníkem a znamená to, že násobíme všechna čísla počínaje daným číslem n, vždy zmenšujeme o jedna a končíme až u jedničky. To znamená, vynásobíme všechna čísla od jedné do n, n musí být přirozené číslo. Například tak tři faktoriál je podle této definice tři krát dva krát jedna, což je šest. Dva faktoriál je pouze dvakrát jedna, což je 2. A jedna faktoriál, stále můžeme použít tuto definici, je prostě jedna. Co ale 0 faktoriál? Podle této definice postupovat nemůžeme, protože už jsme dávno za jedničkou. Mohlo by vás tak napadnout, že to bude nula. Uvidíme ale, že mnohem lepší je definovat 0 faktoriál jako jedničku, a to proto, že nám pak budou fungovat nějaké vzorce i ve speciálních případech. Ukažme si to na vzorečku pro variace. Vypočítáme variace a konkrétně čtyřčlenné variace ze čtyř prvků. To znamená, umisťujeme čtyři lidi nebo čtyři prvky na čtyři pozice. Takže na každého dojde. To je vlastně totéž jako permutace. A výsledek je čtyři faktoriál. Pojďme se podívat, jak to zapadne do našeho obecného vzorce pro variace. Čtyřčlenná variace ze čtyř prvků, podle vzorce jich je čtyři faktoriál lomeno, v závorce čtyři minus čtyři faktoriál. Čtyři minus čtyři je nula, dostáváme tak čtyři faktoriál lomeno nula faktoriál. To nám říká vzorec. A my z kombinatorické úvahy víme, že se to musí rovnat čtyřem faktoriál. Proto se nám velice hodí, když nula faktoriál bude jedna, protože tento vzorec pak bude platit i v tomto speciálním případě. Proto si volíme, že 0 faktoriál je rovno jedné.