Variace bez opakování

Podíváme se na variace, které se hodně podobají permutacím, které už známe. Víme tak například, že pokud chceme vzít pět prvků, například pět lidí, a seřadit je, například usadit na pět míst na pohovce, tak to můžeme udělat tak, že nejprve vybereme člověka na první místo, kde máme pět možností výběru. Všech pět lidí. Jakmile tento první člověk sedí, tak na druhé místo máme už jenom čtyři možnosti, které dále rozšiřují těch prvních pět, proto pět krát čtyři, na další místo už pouze tři možnosti. Na další už jenom dvě možnosti a na poslední místo zbývá už jen ten poslední člověk, který ještě nesedí. Proto krát 1. Tento výpočet zkráceně označujeme jako 5 faktoriál a 5 faktoriál je 120. Variace řeší situaci, kdy nemáme místo pro každého. Pomocí těchto pěti lidí tak chceme například obsadit pouze tříčlennou sedačku. To znamená, budeme obsazovat pouze tři místa, označme si lidi například A až E. Tím pádem v úvahu přicházejí variace A, B, C; A, B, D; A, B, E a mnohé další. Dále můžeme narazit na variaci C, D, E a také D, A, B a opět mnohé další. Kolik jich je ale celkem? Budeme postupovat podobně jako při výpočtu permutací. Na první místo můžeme usadit pět různých lidí, tedy pět možností. Těchto pět možností dále můžeme nakombinovat volbou druhého místa, kde už máme pouze čtyři lidi na výběr. A na třetí místo pouze tři. Dále už tentokrát nepokračujeme. To znamená končíme s výrazem pět krát čtyři krát tři, což je 60. A pojďme vymyslet, jak k tomuto výsledku dospějeme obecně. Začneme se vzorcem pro permutace. To znamená s celým faktoriálem pět krát čtyři krát tři krát dva krát jedna. Poslední dvě čísla v součinu dva krát jedna ale nechceme při našem výpočtu variací, tak jimi výraz vydělíme, to znamená lomeno dvakrát jedna. Tím se zkrátí a problém je vyřešen. Kde ale z původního zadání n rovno 5, tedy 5 prvků, k rovno 3, vybíráme tři členy, kde vezmeme dvakrát jedna? Vzoreček vznikne tak, že v čitateli máme pět faktoriál, to je ještě s permutací, a dělíme faktoriálem 5 minus 3. Protože z původního faktoriálu 5 chceme nechat pouze první tři členy, pouze tolik členů, kolik vybíráme míst. Proto pět minus tři faktoriál. Nyní se podívejme na trochu terminologie a shrňme naše poznatky. Tyto k-tice nazýváme k-členné variace z n prvků. To znamená například usazení C, D, E je jeden konkrétní příklad tříčlenné variace z pěti prvků. Vzoreček pro počet všech variací, k-členných variací, z n prvků označujeme V v závorce k, n. A jak už jsme si odvodili, tak je roven n faktoriál lomeno v závorce n minus k faktoriál. Možná tento vzoreček působí složitě, ale v zásadě znamená, že budeme násobit čísla, začneme číslem n, dále vždy zmenšujeme o jedna, ale nepokračujeme až do jedničky, ale vynásobíme takto pouze k čísel. Poslední vynásobené číslo tak bude číslo n minus k plus jedna, protože n minus k je první, které z celého faktoriálu škrtáme. Ještě doplňme, že někdy se také setkáme s označením V s dolním indexem k a v závorce n pro počet variací. A někdy také dodáváme pro přesnost, že se jedná o variace bez opakování. To znamená, že nemůže jeden člověk sedět na dvou místech, například nepřipouštíme variaci A, C, C. Pro nás je z tohoto videa důležité, že umíme vypočítat počet všech k-členných variací z n prvků pomocí takového jednoduchého vzorce.