Kombinace: rozdávání mariášových karet

Tentokrát se podíváme na rozdávání mariášových karet. Standardní balíček obsahuje 32 karet čtyř různých barev, srdce, kule, žaludy a listy. Od každé barvy máme v balíčku osm hodnot, je to sedma, osma, devítka, desítka, spodek, svršek, král a eso. Hrajeme takovou hru, ve které každý hráč na začátku hry dostane osm karet, náhodně vylosovaných rozdaných karet. A tyto karty si může uspořádat, jak chce. Otázka je, kolik různých sad karet může hráč na začátku hry obdržet. U podobných úloh je vždycky klíčové pochopit a poznat, jestli záleží nebo nezáleží na pořadí těch prvků, těch objektů, které vybíráme. V tomto případě hracích karet. Vzhledem k tomu, že si je hráč může uspořádat, jak chce, tak vůbec nehraje roli, jestli dostane nejprve srdcovou sedmu a poté kulového spodka nebo naopak nejprve kulového spodka a potom srdcovou sedmu. Jinými slovy, v této úloze nám nezáleží na pořadí. Doporučuji video zastavit a zkusit si najít odpověď samostatně. Pojďme se podívat na řešení. V balíčku máme 32 karet. Dále je důležité, že karty jsou čtyř různých barev po osmi hodnotách, 4 krát 8 je 32, a to znamená, že každá karta v balíčku je unikátní. Nejsou tam žádné dvě stejné. To nám úlohu značně zjednodušuje. Pojďme úlohu nejprve vypočítat bez použití vzorce. Víme, že na začátku hry hráč dostane 8 karet. To znamená, uděláme si tady osm políček, a v první fázi spočítáme osmičlenné variace z třiceti dvou karet, z třiceti dvou prvků. To znamená, že na první místo můžeme vybrat 32 různých karet. Jakmile je jedna karta vybraná, na druhé místo zbývá třicet jedna možností, dále 30, poté 29 a tak dále. Možnosti mezi sebou násobíme, protože jejich skládáním vznikají různé variace. Pokračujeme až k osmému číslu, což je 25. A to je počet možností, jak vybrat poslední zbývající kartu do hráčovy ruky. Znovu připomeňme, že hráč si může karty v ruce přeuspořádat, jak je libo. A je tím pádem jedno, jestli například žaludové eso dostane jako první kartu, třetí kartu, nebo pátou kartu. To náš výpočet zatím nezahrnuje a musíme tak tento počet variací vydělit počtem možností, jak 8 karet v ruce uspořádat, abychom tak žádnou odlišnou kombinaci nepočítali víckrát. Výraz tak vydělíme počtem způsobů, jak uspořádat 8 karet, což je opět variace nebo v tomto speciálním případě permutace, která začíná osmičkou. Protože na první místo v ruce máme osm možných karet na výběr z těch osmi, které jsem dostal, na druhé místo už jenom 7, na třetí 6 a tak dále až do jedničky. Výsledkem tohoto výpočtu má být počet kombinací, což je určitě celé číslo, a to znamená, že zlomek musí jít značně zkrátit. Pojďme na to. Číslo 8 ve jmenovateli můžeme zkrátit s číslem 32 v čitateli, zbude čtyřka v čitateli. Dále zkrátíme sedmičku a dvacet osmičku, zbude čtyřka v čitateli. Dále můžeme šest krát pět, což je 30, ve jmenovateli, zkrátit s třicítkou v čitateli, čtyřku ve jmenovateli můžeme zkrátit s již zkrácenou čtyřkou v čitateli, poté trojku můžeme zkrátit s číslem 27, dvojku s číslem 26 a jednička z hlediska dělení už nehraje žádnou roli. Skutečně jsme se tak úplně zbavili zlomku a dostáváme už pouze součin čtyři krát třicet jedna, číslo 30 vypadlo úplně, krát 29, 28 vypadlo úplně, krát 9 krát 13 krát 25. Nyní si už můžeme vzít na pomoc kalkulačku, do které součin jednoduše zadáme. Výsledek je deset miliónů pět set osmnáct tisíc tři sta různých startovacích sad karet, se kterými může hráč začínat hru. Možná si říkáte, že tento postup byl zbytečně složitý, zbytečně jsme museli pracovat se zlomky, krátit a tak dále, když vzorec přitom známe. Zde v této úloze chceme spočítat osmičlenné kombinace z třiceti dvou prvků, což můžeme také označit jako kombinační číslo třicet dva nad osmi. Dosadíme do vzorečku a dostáváme zlomek, který má v čitateli třicet dva faktoriál a ve jmenovateli osm faktoriál krát v závorce 32 minus 8 faktoriál. Než vzorec dosadíme do kalkulačky, pojďme si ukázat, že výpočetně je to totéž jako náš první výraz. Ten měl v čitateli osmičlenné variace z třiceti dvou prvků, které v tomto vzorci najdeme zde. Je to třicet dva faktoriál lomeno, v závorce, třicet dva minus osm faktoriál. To, že to funguje, jsme již viděli i v předchozích videích. Každopádně 32 faktoriál by bylo 32 krát 31 krát 30 a tak dále, až do jedničky. My ale chceme s násobením skončit u čísla 25 a všechny další prvky faktoriálu, 24, 23 a tak dále odstranit. A přesně to nám zařídí 32 minus 8 faktoriál, protože 32 minus 8 je 24, faktoriál nám tak násobí všechna čísla 24, 23, 22, až do jedničky, která se zkrátí s čitatelem. A v čitateli tak skutečně zbude pouze variace, která odpovídá žlutému součinu z našeho prvního výrazu. S fialovou permutací je to snazší, tu vidíme v našem druhém vzorci přímo jako 8 faktoriál. Nyní už je načase chopit se kalkulačky a zadat do ní daný vzorec. Nejprve bychom vypočítali čitatel jako 32 faktoriál, zde ovšem narazíme na problém, protože kalkulačka u takhle velkého čísla již neuvádí přesně všechny cifry, ale zaokrouhlí to. Což pro výpočet kombinací je dost velký problém, protože my zde musíme postupovat přesně. Víme, že má vyjít celé číslo. A možná, že toto by ještě kalkulačka zvládla a ve své vnitřní paměti by si cifry udržela, ale u většího počtu karet nebo u složitějších kombinací by už došlo k nepřesnosti. Proto není úplně vhodné tento vzorec takhle, jak je, rovnou zadávat do kalkulačky. Může vám vyjít špatný výsledek a nemusí to být na první pohled poznat. Dnes naštěstí i školské kalkulačky umějí vypočítat přímo kombinace i variace. Na kalkulačce hledejte nápis nebo výraz malé n, velké C, malé r. C znamená choose, n je počet prvků a r je kolik členů nebo kolika člennou kombinaci vytváříme. V našem případě bychom tak do kalkulačky zadali 32, pak bychom stiskli tlačítko nCr a následně bychom zapsali 8. Kalkulačka dá stejný výsledek jako při našem poctivém počítání a krácení.