Kombinace: cinknutí sklenic

Tentokrát se podíváme na malý večírek a vyřešíme úlohu mnoha způsoby. Uvažujme večírek, na kterém jsou čtyři lidé, a zahajují přípitkem. Každý si s každým přiťukne sklenicí. Otázka je, kolik se ozve cinknutí. Jako vždy doporučuji video zastavit a odpovědět si na úlohu samostatně. Pojďme se podívat na řešení. Jednotlivé účastníky můžeme označit A, B, C, D. Pojďme zjistit, jaké variace nebo kombinace vlastně počítáme. Přiťuknou si vždy dva lidé, například A a B. A pokud už si přiťuknou A a B, tak B a A už si neťukají, to je to samé. Z této dvojice nám zkrátka vzejde jeden přípitek a to znamená jedno cinknutí. Jinými slovy, nezáleží nám na pořadí, dvojice AB a BA chceme počítat jako jedno cinknutí, a proto počítáme kombinace, konkrétně dvoučlenné kombinace, protože si připíjí dva lidé ze čtyř prvků, protože na večírku jsou čtyři lidé. To můžeme také označit kombinačním číslem 4 nad dvěma a můžeme postupovat tak, že nejprve vypočítáme příslušné variace, to znamená 4 krát 3, to jsou všechny dvojice, kdy nám záleží na pořadí, a vydělíme to číslem dva krát jedna, což je počet způsobů, jak tuto dvojici seřadit. Jsou to jenom dva způsoby. Po úpravě dostáváme 12 lomeno dvěma, což je 6. Celkem se tedy ozve 6 cinknutí. Vzhledem k malým počtům není problém všechny dvojice vypsat. Pojďme na to. Můžeme utvořit dvojice AB, AC, AD, BA, BC, BD, dále CA, CB, CD a nakonec dvojice začínající déčkem. Je vždycky dobré při těchto výpisech mít nějaký systém. Tím jsme dostali 12 variací a nyní pojďme přiťukávat. Pokud už si přiťuknou A a B, B a A už si znovu neťukají, to je stejná dvojice. Pokud už si přiťuknou A a C, C a A už si neťukají, stejně tak AD a DA, po BC můžeme vyškrtnout CB, po BD DB a po CD DC. Z dvanácti variací tak zbude pouze šest unikátních kombinací. A do třetice. Pojďme použít oficiální vzorec pro výpočet kombinačního čísla 4 nad dvěma. To je čtyři faktoriál lomeno čtyři minus dva faktoriál, v závorce, krát dva faktoriál. Po rozepsání dostáváme čtyři krát tři krát dva krát jedna v čitateli a ve jmenovateli čtyři minus dva je dva, dva faktoriál je dva krát jedna a dva faktoriál opět je dva krát jedna. Nejprve zkrátíme část faktoriálu z čitatele, s faktoriálem ve jmenovateli. A poté ještě zkrátíme čísla 2 a 4. Zbude tak pouze čitatel, ve kterém máme dva krát tři, což je opět šest cinknutí, která se ozvou při přípitku čtyř osob.