Vzorec pro výpočet kombinace

Nejprve připomeneme vzoreček pro variace a potom odvodíme vzorec pro výpočet kombinací. Budeme počítat i konkrétní příklad, pro lepší představu. Uvažujme situaci, kdy si balíme věci na školu v přírodě a z šesti našich oblíbených triček vybíráme čtyři, která si vezmeme s sebou. Nejprve pojďme vypočítat variace, což by odpovídalo situaci, že trička volíme už na konkrétní den, a záleží nám tedy na tom, které bude první, druhé, třetí a čtvrté. Na první den si můžeme z šesti triček vybrat šest různých, druhý den už si samozřejmě nemůžeme vzít to samé tričko. Máme tedy jen pět možností. Na třetí den už máme jenom čtyři možnosti a na čtvrtý den už jenom tři. Možnosti vynásobíme a dostáváme tak variace, konkrétně čtyřčlenné variace z šesti prvků, což můžeme vypočítat buď šest krát pět krát čtyři krát tři anebo podle vzorce pro variace jako 6 faktoriál lomeno šest minus čtyři faktoriál. Což je po zkrácení totéž. Připomeňme obecný vzorec, který říká, že k-členných variací z n prvků existuje přesně zlomek n faktoriál lomeno v závorce n minus k faktoriál. Nyní ale uvažmě situaci, kdy si na školu v přírodě teprve balíme a je nám úplně jedno, které tričko si vezmeme první, druhé, třetí, čtvrté. Když například zvolíme trička BCEF, je to totéž jako trička BCFE, je to totéž jako trička BECF a tak dále. Všechny tyto variace pro nás v době, kdy si balíme, představují úplně stejnou volbu čtyř triček, úplně stejnou kombinaci. Těchto variací je přesně tolik, kolika způsoby lze čtyři trička seřadit, což je čtyři krát tři krát dva neboli čtyři faktoriál. Nyní už můžeme přejít k výpočtu počtu kombinací, konkrétně čtyřčlenných kombinací z šesti prvků. Začneme s variacemi, ale těch víme, že je mnoho, protože každou konkrétní čtveřici triček jsme počítali čtyři faktoriál krát, to znamená, že variace dělíme čtyřmi faktoriál, tím už budeme každou kombinaci triček počítat pouze jednou, a tím dostaneme i výsledek. Obecně počet k-členných kombinací z n prvků určíme tak, že vypočítáme počet k-členných variací z n prvků a tento počet variací vydělíme číslem k faktoriál, protože to je počet způsobů, kolika se každá skupina, každá k-prvková skupina, dá seřadit. Pojďme si vzorec trochu rozepsat a zjednodušit. Variace rozepíšeme podle jejich vzorce jako n faktoriál lomeno n minus k v závorce faktoriál a to celé lomeno k faktoriál. Nyní jmenovatel z čitatele půjde do jmenovatele složeného zlomku. A dostáváme tak n faktoriál lomeno n minus k faktoriál krát k faktoriál. Toto je obecný vzorec pro výpočet počtu k-členných kombinací z n prvků. V kombinatorice se s tímto výrazem a s tímto výpočtem setkáváme velice často, a zavádíme pro něj speciální značku, kterou čteme jako n nad k, a jmenuje se to kombinační číslo, tedy toto je kombinační číslo n nad k. Vraťme se nyní k našemu příkladu s balením triček na školu v přírodě. Uděláme si tady trochu víc místa. A nyní už víme, že tento výraz můžeme označit jako kombinační číslo šest nad čtyřmi. A podle vzorce je to 6 faktoriál lomeno v závorce 6 minus 4 faktoriál krát 4 faktoriál. Pojďme si faktoriály rozepsat a zlomky zkrátit. 6 faktoriál je šest krát pět krát čtyři krát tři krát 2 krát jedna, což tedy nehraje roli. 6 minus 4 je 2. To znamená, že tento faktoriál je pouze dva krát jedna. No a 4 faktoriál je čtyři krát tři krát dva krát jedna. Nyní můžeme čtyři faktoriál ve jmenovateli zkrátit s částí faktoriálu z čitatele, kde tak zbude šest krát pět. A ještě můžeme zkrátit čísla 2 a 6, v čitateli tak zbude pouze tři krát 5, což je 15 různých kombinací jak si na školu v přírodě vybrat čtyři trička z šesti.