Hlavní obsah
Pravděpodobnost a kombinatorika
Kurz: Pravděpodobnost a kombinatorika > Kapitola 1
Lekce 4: Binomické rozděleníPoznávání binomických rozdělení
Jak poznat binomické rozdělení? Na třech příkladech si určíme, zda se jedná o binomické rozdělení či ne. Použijeme k tomu 4 podmínky, které musí binomické rozdělení splňovat.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Čekají nás tři situace, tři konkrétní
příklady. A naším úkolem je rozhodnout, jestli popsaná veličina má binomické
rozdělení nebo ne. Jestli se jedná o binomickou situaci. Budeme tedy pracovat
se čtyřmi podmínkami, které jsme zmínili v minulém videu. Jako vždy doporučuji
video zastavit a zkusit si samostatně rozhodnout, jestli jednotlivé veličiny
jsou nebo nejsou binomické. Pojďme se podívat na první příklad, kde z klasického
balíčku třiceti dvou mariášových karet rozdáváme hráči 6. To, co nás zajímá, je, kolik králů tento
hráč dostal. To znamená, veličina Y, náhodná veličina
nám udává počet králů. Pojďme projít jednotlivé podmínky. První podmínka říká,
že musí být pevně daný počet pokusů. To v tomto případě je, protože víme, že hráč
dostane přesně 6 karet, vždy 6 karet. To je našich 6 pokusů. Za druhé, každý pokus lze hodnotit jako
úspěch či neúspěch, to znamená, může dopadnout pouze dvěma způsoby. To zde
také je splněno, protože jediné, co nás zajímá, je, jestli daná karta je král nebo
není král. Úspěch je tedy v našem případě král. Podmínka číslo 2 je splněna. A my se tak
vrhneme na třetí, která většinou bývá nejzapeklitější. Pokusy musí být
nezávislé, to znamená, že výsledek žádného pokusu nesmí ovlivnit výsledky dalších
pokusů a to ani jejich pravděpodobnosti. Pojďme se podívat, jestli je to tady
splněno. Pravděpodobnost, že první karta, kterou dostaneme, bude král, je 4, protože
máme čtyři krále v balíčku, lomeno třiceti dvěma, protože v balíčku je celkem 32
karet. S druhou kartou už to bude složitější. Pokud první karta byla král,
pak v balíčku už jsou pouze tři králové z 31 zbývajících karet. A pokud nebyla
král první karta, tak v balíčku jsou stále 4 králové z 31 karet. To znamená, že výsledek prvního pokusu
jednoznačně ovlivňuje další i všechny ostatní pokusy. Pokusy proto nejsou
nezávislé a veličina Y nemá binomické rozdělení. Zde bychom mohli s odpovědí
skončit. Ale pojďme se ještě podívat na čtvrtou podmínku, která splněna je. Je to stejná situace jako v úvodním
videu k binomickým rozdělením, kdy jsme vybírali žáky do týmu. A výsledky pokusů
sice ovlivňují ostatní pravděpodobnosti, ale každý jeden pokus sám o sobě, pokud
nevíme výsledky ostatních pokusů, pokud neznáme ostatní karty, tak
pravděpodobnost, že například pátá karta bude král, je čtyři ku třiceti dvěma. Ani
splnění čtvrté podmínky ale nemění nic na tom, že veličina Y nemá binomické
rozdělení. Pojďme rovnou na další příklad se zahrádkářem, který si objednal
a zasadil dvacet sazenic. Náhodná veličina X tentokrát označuje počet
rostlin, které se ujaly neboli přežily. První podmínka hovoří o pevném počtu
pokusů, to je dvacet sazenic, které si zahrádkář objednal. Ta je splněna. Druhá
podmínka požaduje, aby každý pokus mohl dopadnout pouze dvěma způsoby. Úspěchem
či neúspěchem. V tomto případě ujmutím nebo neujmutím, přežitím nebo nepřežitím
dané sazenice. Druhá podmínka je také splněna. Třetí podmínka požaduje, aby
výsledky pokusů byly nezávislé, a to je zde přímo zmíněno v zadání. Všechny
sazenice budou vyrůstat v nezávislých podmínkách. V praxi může být poměrně
těžké toto zařídit, ale dejme tomu, že teoreticky to možné je. Čtvrtá podmínka
říká, že pravděpodobnost úspěchu je ve všech pokusech stejná. Opět je to zde
uvedeno v zadání, že sazenice budou ve stejných podmínkách, což v praxi zase
může být trochu těžké, aby všechny měly stejně kvalitní půdu, stejně byly
zalívané, stejně na ně svítilo slunce, měly stejnou teplotu a podobně, ale
teoreticky berme to tak, to znamená i tato podmínka je splněna. Proto veličina
X splňuje všechny podmínky a má tedy binomické rozdělení. A pojďme na
poslední, třetí situaci, kde Petr hází dvěma šestistěnnými kostkami. Náhodná
veličina Z tentokrát označuje počet hodů. Už to samo o sobě je poměrně
podezřelé. Ale pojďme to poctivě prozkoumat. První podmínka říká, že musí
být pevně daný počet pokusů. Zde Petr hází tak dlouho, dokud mu nepadnou dvě
stejná čísla. To znamená, není jasné, jak dlouho bude házet a počet pokusů, počet
hodů není pevně daný. Už první podmínka není splněna, proto veličina Z nemá
binomické rozdělení. Ale pojďme se rychle podívat na zbývající tři podmínky.
Podmínka 2 splněna je, protože buď Petrovi padnou dvě stejná čísla nebo ne.
Úspěch, neúspěch. Třetí podmínka požaduje nezávislost jednotlivých pokusů, neboli
hodů. Vzhledem k tomu, že házíme kostkami, tak tuto podmínku můžeme
považovat za splněnou. Jednotlivé hody neovlivňují výsledky dalších hodů. I
čtvrtá podmínka je splněna, protože Petr hází stále stejnou dvojicí kostek. A ty
určují danou pravděpodobnost.