Poznávání binomických rozdělení

Čekají nás tři situace, tři konkrétní příklady. A naším úkolem je rozhodnout, jestli popsaná veličina má binomické rozdělení nebo ne. Jestli se jedná o binomickou situaci. Budeme tedy pracovat se čtyřmi podmínkami, které jsme zmínili v minulém videu. Jako vždy doporučuji video zastavit a zkusit si samostatně rozhodnout, jestli jednotlivé veličiny jsou nebo nejsou binomické. Pojďme se podívat na první příklad, kde z klasického balíčku třiceti dvou mariášových karet rozdáváme hráči 6. To, co nás zajímá, je, kolik králů tento hráč dostal. To znamená, veličina Y, náhodná veličina nám udává počet králů. Pojďme projít jednotlivé podmínky. První podmínka říká, že musí být pevně daný počet pokusů. To v tomto případě je, protože víme, že hráč dostane přesně 6 karet, vždy 6 karet. To je našich 6 pokusů. Za druhé, každý pokus lze hodnotit jako úspěch či neúspěch, to znamená, může dopadnout pouze dvěma způsoby. To zde také je splněno, protože jediné, co nás zajímá, je, jestli daná karta je král nebo není král. Úspěch je tedy v našem případě král. Podmínka číslo 2 je splněna. A my se tak vrhneme na třetí, která většinou bývá nejzapeklitější. Pokusy musí být nezávislé, to znamená, že výsledek žádného pokusu nesmí ovlivnit výsledky dalších pokusů a to ani jejich pravděpodobnosti. Pojďme se podívat, jestli je to tady splněno. Pravděpodobnost, že první karta, kterou dostaneme, bude král, je 4, protože máme čtyři krále v balíčku, lomeno třiceti dvěma, protože v balíčku je celkem 32 karet. S druhou kartou už to bude složitější. Pokud první karta byla král, pak v balíčku už jsou pouze tři králové z 31 zbývajících karet. A pokud nebyla král první karta, tak v balíčku jsou stále 4 králové z 31 karet. To znamená, že výsledek prvního pokusu jednoznačně ovlivňuje další i všechny ostatní pokusy. Pokusy proto nejsou nezávislé a veličina Y nemá binomické rozdělení. Zde bychom mohli s odpovědí skončit. Ale pojďme se ještě podívat na čtvrtou podmínku, která splněna je. Je to stejná situace jako v úvodním videu k binomickým rozdělením, kdy jsme vybírali žáky do týmu. A výsledky pokusů sice ovlivňují ostatní pravděpodobnosti, ale každý jeden pokus sám o sobě, pokud nevíme výsledky ostatních pokusů, pokud neznáme ostatní karty, tak pravděpodobnost, že například pátá karta bude král, je čtyři ku třiceti dvěma. Ani splnění čtvrté podmínky ale nemění nic na tom, že veličina Y nemá binomické rozdělení. Pojďme rovnou na další příklad se zahrádkářem, který si objednal a zasadil dvacet sazenic. Náhodná veličina X tentokrát označuje počet rostlin, které se ujaly neboli přežily. První podmínka hovoří o pevném počtu pokusů, to je dvacet sazenic, které si zahrádkář objednal. Ta je splněna. Druhá podmínka požaduje, aby každý pokus mohl dopadnout pouze dvěma způsoby. Úspěchem či neúspěchem. V tomto případě ujmutím nebo neujmutím, přežitím nebo nepřežitím dané sazenice. Druhá podmínka je také splněna. Třetí podmínka požaduje, aby výsledky pokusů byly nezávislé, a to je zde přímo zmíněno v zadání. Všechny sazenice budou vyrůstat v nezávislých podmínkách. V praxi může být poměrně těžké toto zařídit, ale dejme tomu, že teoreticky to možné je. Čtvrtá podmínka říká, že pravděpodobnost úspěchu je ve všech pokusech stejná. Opět je to zde uvedeno v zadání, že sazenice budou ve stejných podmínkách, což v praxi zase může být trochu těžké, aby všechny měly stejně kvalitní půdu, stejně byly zalívané, stejně na ně svítilo slunce, měly stejnou teplotu a podobně, ale teoreticky berme to tak, to znamená i tato podmínka je splněna. Proto veličina X splňuje všechny podmínky a má tedy binomické rozdělení. A pojďme na poslední, třetí situaci, kde Petr hází dvěma šestistěnnými kostkami. Náhodná veličina Z tentokrát označuje počet hodů. Už to samo o sobě je poměrně podezřelé. Ale pojďme to poctivě prozkoumat. První podmínka říká, že musí být pevně daný počet pokusů. Zde Petr hází tak dlouho, dokud mu nepadnou dvě stejná čísla. To znamená, není jasné, jak dlouho bude házet a počet pokusů, počet hodů není pevně daný. Už první podmínka není splněna, proto veličina Z nemá binomické rozdělení. Ale pojďme se rychle podívat na zbývající tři podmínky. Podmínka 2 splněna je, protože buď Petrovi padnou dvě stejná čísla nebo ne. Úspěch, neúspěch. Třetí podmínka požaduje nezávislost jednotlivých pokusů, neboli hodů. Vzhledem k tomu, že házíme kostkami, tak tuto podmínku můžeme považovat za splněnou. Jednotlivé hody neovlivňují výsledky dalších hodů. I čtvrtá podmínka je splněna, protože Petr hází stále stejnou dvojicí kostek. A ty určují danou pravděpodobnost.