Obecný vzorec pro k úspěchů při n pokusech

Ještě jednou se vrátíme k příkladu s lukostřelcem. A na něm si odvodíme obecný vzorec pro výpočty pravděpodobností v binomickém rozdělení. Připomeňme, že jsme měli lukostřelce, který měl pravděpodobnost úspěchu 0,8 a pravděpodobnost neúspěchu logicky jedna minus 0,8 neboli nula celá dva při každém jednotlivém výstřelu. V úloze nás zajímala pravděpodobnost, že dosáhne právě tří úspěchů, právě tří zásahů do středu terče při pěti pokusech, konkrétně výstřelech. Pravděpodobnost jsme spočítali jako pravděpodobnost jedné konkrétní sekvence tří úspěchu a dvou neúspěchů, což tři úspěchy dává pravděpodobnost 0,8, pravděpodobnost úspěchu na třetí, poté dva neúspěchy pravděpodobnost neúspěchu nula celá dva a při pěti pokusech a třech úspěších zbývají dva neúspěchy. Tedy 0,2 na druhou. Dále bylo ve výpočtu kombinační číslo, které nám řeklo, kolika způsoby můžeme uspořádat tři úspěchy a dva neúspěchy za sebe. Vybírali jsme z pěti pokusů, z pěti pozic tři pozice, ve kterých dojde k úspěchu. Došli jsme tak k takovému výrazu. A pojďme se podívat, jaká obecná pravidla, jaká obecná logika tam platí a odvodit obecný vzorec. Pravděpodobnost úspěchu označíme malým písmenem p a z toho logicky vyplývá, že pravděpodobnost neúspěchu bude jedna minus p. Dále označíme počet úspěchů obecně k. A počet pokusů obecně n. Budeme počítat pravděpodobnost, že dosáhneme k úspěchu při n pokusech s tím, že pravděpodobnost úspěchu je p. Nejprve jedna konkrétní sekvence pokusů s k úspěchy. Pravděpodobnost každého úspěchu je p. Má jich nastat k. Proto p na k-tou. Dále nastanou neúspěchy, které mají pravděpodobnost jedna minus p a nastane jich právě tolik, kolik zbývá do n pokusů. To znamená n minus k. Poslední člen nám bude určovat počet různých způsobů, jak za sebe seřadit k úspěchu a n minus k neúspěchů a to je kombinační číslo n nad k. Dostali jsme tak obecný vzorec pro výpočet pravděpodobnosti právě k úspěchů při n pokusech v binomickém rozdělení. Binomické rozdělení se objevuje v reálném světě poměrně často a je proto dobré, že pro něj máme takovýto vzorec. Jenom pozor, vždy musí být splněny všechny čtyři podmínky, abychom mohli prohlásit, že se jedná o binomické rozdělení a tento poměrně jednoduchý vzorec použít.