Binomické rozdělení hodů na koš

Díky obecnému vzorci už jdou konkrétní výpočty poměrně rychle. Není proto problém vzít nějaký konkrétní příklad a zjistit pravděpodobnosti všech různých počtu úspěchů a dostat tak kompletní obraz binomického rozdělení. Pro změnu necháme lukostřelce být a vezmeme si basketbalistu, který hází míče na koš. Basketbalista bude mít pět pokusů, pět střel na koš. A pravděpodobnost, že v každém jednotlivém pokusu uspěje, je 70 procent neboli 0,7. Opět musíme předpokládat, že jednotlivé pokusy jsou nezávislé. A pak dostaneme náhodnou proměnnou X, která nám počítá počet košů při těchto pěti pokusech. A díky nezávislosti pokusů má tato proměnná binomické rozdělení. Nyní si postupně vypočítáme pravděpodobnosti všech možných hodnot, kterých může proměnná X nabývat a dostaneme tak její kompletní rozdělení. Pojďme to vzít hezky od začátku, pravděpodobnost, že X se rovná nule neboli basketbalista nevstřelí ani jeden koš. Podle vzorce dostáváme p, což je 0,7, na k-átou, což je počet úspěchů, tentokrát 0, krát v závorce jedna minus p, tedy jedna minus nula celá sedm. A budeme umocňovat na n minus k. Tedy počet neúspěchů v tomto případě 5, minus 0. A nakonec kombinační číslo n nad k, zde 5 nad nulou. Výraz zjednodušíme a dostáváme nula celá sedm na nultou je jedna, jedna minus nula celá sedum je nula celá tři na pátou. A kombinační číslo 5 nad nulou je jedna. Protože jak z pěti možností vybrat žádnou. To jde jenom jedním způsobem. Po dosazení do kalkulačky zjistíme, že tato hodnota je přibližně 0,2 procenta. Není tedy moc velká šance, že se basketbalista ani jednou netrefí. Stejně tak budeme postupovat i u dalších hodnot, u dalších výpočtů. Pojďme na pravděpodobnost, že basketbalista vstřelí právě jeden koš. Dostáváme 0,7 na prvou krát jedna minus 0,7 na pět méně prvou krát 5 nad jednou. Vidíme, že struktura výpočtu zůstává stále stejná, jenom se mění číslo k. Po úpravě dostáváme 0,7 na prvou krát 0,3 na čtvrtou. A 5 nad jednou je 5, tolika způsoby lze z pěti pokusů vybrat jeden úspěšný. S pomocí kalkulačky zjistíme, že výsledná pravděpodobnost je přibližně 2 celá 8 procenta. Další případy už projdeme rychleji, mění se nám pouze číslo k, to znamená exponenty. U úspěšných pokusů vzrůstají exponenty, u neúspěšných pokusů vždy klesají. A ještě se můžeme podívat speciálně na kombinační čísla, která ve výrazech najdeme, totiž i ta se začnou po chvíli opakovat. Máme zde kombinační číslo 5 nad dvěma, což je 10. A rovnou tedy můžeme psát do kalkulačky a dostaneme přibližný výsledek 13 celých dvě procenta. V dalším výrazu opět dostaneme 0,7 a 0,3 na příslušné mocniny a kombinační číslo 5 nad třemi, což je ale stejné jako 5 nad dvěma, tedy 10. Výsledná pravděpodobnost je přibližně 30 celá 9 procent. Dále pravděpodobnost, že X bude 4. Dostáváme ve výrazu kombinační číslo 5 nad čtyřmi, což je stejné jako 5 nad jednou, protože je jedno, jestli vybíráme ten jeden úspěšný nebo ten jeden neúspěšný pokus. Toto kombinační číslo má hodnotu 5 a po dosazení do kalkulačky dostáváme výsledek 36 procent, přibližně. A konečně poslední situace, kdy všech pět pokusů bude úspěšných, zde máme pouze 0,7 na pátou, protože další dva členy vycházejí jedna. Opět pět nad pěti a pět nad nulou je totéž. A dostáváme tak výslednou pravděpodobnost přibližně 16,8 procenta. Toto jsou pravděpodobnosti všech možných hodnot, kterých může proměnná X nabývat. A my tak vidíme celé její binomické rozdělení. Dobrou kontrolou může být jednotlivé pravděpodobnosti sečíst a měli bychom dostat sto procent. Ve skutečnosti dostaneme 99,9 procent, což je dáno tím, že jsme zaokrouhlovali. Můžeme si ještě všimnout hodnot kombinačních čísel 5 nad k, které vlastně tvoří šestý řádek Pascalova trojúhelníku a také je můžeme znát z binomické věty, která nám pomáhá roznásobovat závorky typu a plus b na n-tou. V tomto případě na pátou. Právě podobnost s binomickou větou dává tomuto rozdělení název binomické.