Hlavní obsah
Pravděpodobnost a kombinatorika
Kurz: Pravděpodobnost a kombinatorika > Kapitola 1
Lekce 4: Binomické rozděleníBinomické rozdělení hodů na koš
Další videa a interaktivní cvičení naleznete na https://cs.khanacademy.org
S použitím obecného vzorce pro binomické rozdělení si odvodíme pravděpodobnosti všech možných výsledků, pokud budeme pětkrát za sebou házet na koš. Součet všech pravděpodobností nám dá 100 %. Nakonec si vysvětlíme, proč se binomické rozdělení jmenuje binomické - je to podle binomické věty!
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Díky obecnému vzorci už jdou konkrétní
výpočty poměrně rychle. Není proto problém vzít nějaký konkrétní příklad a
zjistit pravděpodobnosti všech různých počtu úspěchů a dostat tak kompletní
obraz binomického rozdělení. Pro změnu necháme lukostřelce být a vezmeme si
basketbalistu, který hází míče na koš. Basketbalista bude mít pět pokusů, pět
střel na koš. A pravděpodobnost, že v každém jednotlivém pokusu uspěje, je 70
procent neboli 0,7. Opět musíme předpokládat, že jednotlivé
pokusy jsou nezávislé. A pak dostaneme náhodnou proměnnou X, která nám počítá
počet košů při těchto pěti pokusech. A díky nezávislosti pokusů má tato
proměnná binomické rozdělení. Nyní si postupně vypočítáme pravděpodobnosti
všech možných hodnot, kterých může proměnná X nabývat a dostaneme tak její kompletní
rozdělení. Pojďme to vzít hezky od začátku, pravděpodobnost, že X se rovná
nule neboli basketbalista nevstřelí ani jeden koš. Podle vzorce dostáváme p,
což je 0,7, na k-átou, což je počet úspěchů, tentokrát 0, krát v
závorce jedna minus p, tedy jedna minus nula celá sedm. A budeme umocňovat na n
minus k. Tedy počet neúspěchů v tomto případě 5,
minus 0. A nakonec kombinační číslo n nad k, zde 5 nad nulou. Výraz zjednodušíme
a dostáváme nula celá sedm na nultou je jedna, jedna minus nula celá sedum je
nula celá tři na pátou. A kombinační číslo 5 nad nulou je jedna. Protože jak z pěti možností vybrat
žádnou. To jde jenom jedním způsobem. Po dosazení do kalkulačky zjistíme, že tato
hodnota je přibližně 0,2 procenta. Není tedy moc velká šance, že se basketbalista
ani jednou netrefí. Stejně tak budeme postupovat i u dalších hodnot, u dalších
výpočtů. Pojďme na pravděpodobnost, že basketbalista vstřelí právě jeden koš.
Dostáváme 0,7 na prvou krát jedna minus 0,7 na pět méně prvou krát 5 nad jednou. Vidíme, že struktura výpočtu zůstává
stále stejná, jenom se mění číslo k. Po úpravě dostáváme 0,7 na prvou krát 0,3
na čtvrtou. A 5 nad jednou je 5, tolika způsoby lze
z pěti pokusů vybrat jeden úspěšný. S pomocí kalkulačky zjistíme, že výsledná
pravděpodobnost je přibližně 2 celá 8 procenta. Další případy už projdeme
rychleji, mění se nám pouze číslo k, to znamená exponenty. U úspěšných pokusů
vzrůstají exponenty, u neúspěšných pokusů vždy klesají. A ještě se můžeme
podívat speciálně na kombinační čísla, která ve výrazech najdeme, totiž i ta se
začnou po chvíli opakovat. Máme zde kombinační číslo 5 nad dvěma, což je 10. A rovnou tedy můžeme psát do kalkulačky
a dostaneme přibližný výsledek 13 celých dvě procenta. V dalším výrazu opět
dostaneme 0,7 a 0,3 na příslušné mocniny a
kombinační číslo 5 nad třemi, což je ale stejné jako 5 nad dvěma, tedy 10. Výsledná pravděpodobnost je přibližně 30
celá 9 procent. Dále pravděpodobnost, že X bude 4. Dostáváme ve výrazu kombinační číslo 5
nad čtyřmi, což je stejné jako 5 nad jednou, protože je jedno, jestli vybíráme
ten jeden úspěšný nebo ten jeden neúspěšný pokus. Toto kombinační číslo má hodnotu 5 a po
dosazení do kalkulačky dostáváme výsledek 36 procent, přibližně. A konečně poslední situace, kdy všech pět
pokusů bude úspěšných, zde máme pouze 0,7 na pátou, protože další dva členy
vycházejí jedna. Opět pět nad pěti a pět nad nulou je
totéž. A dostáváme tak výslednou pravděpodobnost přibližně 16,8 procenta.
Toto jsou pravděpodobnosti všech možných hodnot, kterých může proměnná X nabývat. A
my tak vidíme celé její binomické rozdělení. Dobrou kontrolou může být
jednotlivé pravděpodobnosti sečíst a měli bychom dostat sto procent. Ve
skutečnosti dostaneme 99,9 procent, což je dáno tím, že jsme zaokrouhlovali.
Můžeme si ještě všimnout hodnot kombinačních čísel 5 nad k, které vlastně
tvoří šestý řádek Pascalova trojúhelníku a také je můžeme znát z binomické věty,
která nám pomáhá roznásobovat závorky typu a plus b na n-tou. V tomto případě na pátou. Právě podobnost
s binomickou větou dává tomuto rozdělení název binomické.