Slovní úlohy s posloupnostmi

„Mohamed se rozhodl každoročně zaznamenat počet listů na stromě v jeho zahradě. První rok bylo 500 listů. Každý další rok bylo listů o 40 % více, než v předchozí rok. Nechť je 'n' přirozené číslo a nechť f(n) znamená počet listů, které jsou na Mohamedově stromě v n-tém roce od doby, kdy začal zaznamenávat. Výraz 'f(n)' definuje posloupnost. Jakým typem posloupnosti je f(n)?“ Někteří by si to dokázali promyslet v hlavě. Každý následující rok je nárůst o 40 %, to je to samé, jako je násobení číslem 1,4. Každý následující člen násobíme nebo dělíme stejným číslem. Bude tedy geometrickou. Udělejme to lépe uchopitelné. Pro jistotu. Udělejme malou tabulku. Tabulku. Tohle je 'n' a tohle je 'f(n)'. Když 'n' je rovno 1, první rok, 'n' rovno 1, na stromě bylo 500 listů. 'f(n)' je rovno 500. Když je 'n' rovno 2, naroste to o 40 %, což je to samé, jako je násobení číslem 1,4. Tedy 500 krát 1,4. 40 % z 500 je 200, takže máme nárůst o 200, tedy půjdeme na 700. V třetím roce narosteme o 40 % z 700, což je 280, takže máme nárůst na 980. Všimněte si, že to rozhodně není aritmetická posloupnost. V aritmetické posloupnosti bychom přičítali či odečítali stejné množství, což neděláme. Tady, z 500 na 700 jsme měli nárůst o 200. Z 700 na 980 je nárůst o 280. Místo toho násobíme či dělíme pokaždé stejným množstvím. V tomto případě násobíme pokaždé číslem 1,4. Zřejmě je to geometrická posloupnost. „V závislosti na odpovědi výše, rekursivní zadání posloupnosti může mít podobu jednoho ze zadaných.“ Tohle platí pro aritmetickou, což není náš případ. Bude to případ geometrické posloupnosti. Ptají se nás: „Jaké jsou hodnoty parametrů A a B pro tuto posloupnost?“ Zde máme počáteční člen, f(n) bude rovno A, když 'n' je rovno 1. Víme, že když je 'n' rovno 1, měli jsme na stromě 500 listů, Takže 'A' je rovno 500. 'A' je rovno 500. Nejsme-li v počátečním členu, tedy pro každý jiný rok, budeme mít… Podívejme, máme předchozí rok krát co? Bude to předchozí rok s nárůstem o 40 %. Abychom měli 40% nárůst, musíme násobit číslem 1,4. 'B' je tedy 1,4. Vezmeme předchozí rok a násobíme jej 1,4 za každý další rok různý od 'n' rovno 1. 'B' je tedy rovno 1,4 a jsme hotovi. Udělejme další příklad. Je to zvláštně zábavné. Dobrá, tohle nám říká: „Seo-Yun pořádala párty. Měla 50 uvítacích dárků na rozdání a dala 3 dárky každému hostu, když zrovna na párty přišel. Nechť je 'n' přirozené a nechť g(n) označuje počet dárků, které Seo-Yun měla před příchodem n-tého hosta.“ Dobrá, než se podívám na tyto otázky, udělejme si zde tabulku, říkají 'před n-tým hostem'. Chci se ujistit, že tomu rozumím správně. Tohle je tedy 'n' a tohle bude g(n). Když je 'n' rovno 1, g(n), tedy g(1) bude počet dárků, které Seo-Yun měla před příchodem prvního hosta. Před příchodem prvního hosta měla 50 dárků. Měla 50 dárků. Teď přišel druhý host. Počet dárků, které měla před druhým hostem… Dala 3 dárky prvnímu, takže teď má 47 dárků. Je-li 'n' rovno 3, kolik dárků měla před příchodem třetího hosta? Musela přeci dát dárky prvnímu a druhému, každému dala 3 dárky. Takže měla 44 dárků. Asi už vidíte schéma. Je-li 'n' rovno 1, g(n) je rovno 50 a pokaždé, navýšíme-li 'n' o 1, zvyšujeme g(n) o 3, o -3 bych měl říct, protože dárky dává. -3. Jelikož rozdíl mezi po sobě jdoucími členy zůstává stejný, víme, že jde o aritmetickou posloupnost. Je to aritmetická posloupnost. Chtějí po nás zapsat explicitní vyjádření posloupnosti. Zamysleme se nad tím. Podívejme g(n) bude rovno… Začínáme na 50, pak odečítáme 3 a popřemýšlejme, odečítáme 3 krát 'n' nebo…? Podívejme, u prvního hosta jsme odečetli 3 nulakrát. U druhého hosta jsme odečetli 3 jednou. U třetího hosta jsme odečetli 3 dvakrát. Takže u n-tého hosta odečteme 3 (n minus 1)krát. Všimněte si, u třetího hosta jsme odečetli 3 dvakrát. U druhého hosta jsme odečetli 3 jednou. U prvního hosta jsme odečetli 3 nulakrát, takže to funguje. U prvního hosta bychom odečetli 3 nulakrát, g(1) by tedy bylo 50. Vidíme, že je to konzistentní. Mohu tedy psát 50 minus 3 krát (n minus 1). Doporučuji udělat si tabulku, aby bylo jasné, zda psát 'n' nebo 'n minus 1'. Aby to vše sedělo.