Hlavní obsah

Posloupnosti a konečné řady

Kurz: Posloupnosti a konečné řady > Kapitola 1

Lekce 1: Aritmetické posloupnosti: úvod a dopočítávání členů

Úvod do aritmetických posloupností

Učebna Google

V tomto článku se dozvíš, co to je posloupnost a jak vypadá speciální druh posloupností, kterým říkáme aritmetické.

Ještě než s tímto článkem začneš, ujisti se, že umíš sčítat a odčítat záporná čísla.

Co to je posloupnost?

Zde je několik seznamů čísel:

3, 5, 7 ...
21, 16, 11, 6 ...
1, 2, 4, 8 ...

Uspořádaným seznamům čísel říkáme posloupnosti. Každé číslo v posloupnosti je její člen.

$3,$ ‍	$5,$ ‍	$7, …$ ‍
$↑$ ‍	$↑$ ‍	$↑$ ‍
$první člen$ ‍	$druhý člen$ ‍	$třetí člen$ ‍

Čísla v posloupnosti obvykle splňují nějaký vzorec, pomocí kterého můžeme odhadnout, jak by mohly vypadat další členy.

Například v posloupnosti

3, 5, 7, …

se každý člen rovná předcházející člen plus dva:

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7, …$ ‍

Tři tečky, které se píší na konec, znamenají, že posloupnost pokračuje dál a my jsme z ní napsali jen prvních pár členů.

Další členy posloupnosti můžeme najít pomocí vzorce, který splňují její členy.

Například čtvrtý člen naší posloupnosti by měl být

9

, pátý

11

a tak dále.

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7,$ ‍		$9,$ ‍		$11, …$ ‍

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Pomocí vzorce, který splňují členy dané posloupnosti, urči její další člen.

Příklad 1

Vzorec: K předcházejícímu členu přičti pět.

	$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$8,$ ‍		$13,$ ‍		Odpověď má být celé číslo, například $6$ ‍ pravý zlomek v základním tvaru, například $3 / 5$ ‍ nepravý zlomek v základním tvaru, například $7 / 4$ ‍ smíšené číslo, například $1 3 / 4$ ‍ desetinné číslo, například 0,75 násobek čísla pi, například $12 pi$ ‍ or $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

Příklad 2

Vzorec: Od předcházejícího členu odečti tři.

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$20,$ ‍		$17,$ ‍		$14,$ ‍		Odpověď má být celé číslo, například $6$ ‍ pravý zlomek v základním tvaru, například $3 / 5$ ‍ nepravý zlomek v základním tvaru, například $7 / 4$ ‍ smíšené číslo, například $1 3 / 4$ ‍ desetinné číslo, například 0,75 násobek čísla pi, například $12 pi$ ‍ or $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

Příklad 3

Vzorec: Vynásob předcházející člen dvěma.

	$\cdot 2 ↷$ ‍		$\cdot 2 ↷$ ‍		$\cdot 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$6,$ ‍		$12,$ ‍		Odpověď má být celé číslo, například $6$ ‍ pravý zlomek v základním tvaru, například $3 / 5$ ‍ nepravý zlomek v základním tvaru, například $7 / 4$ ‍ smíšené číslo, například $1 3 / 4$ ‍ desetinné číslo, například 0,75 násobek čísla pi, například $12 pi$ ‍ or $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

[Potřebuji pomoc! Ukaž mi řešení.]

Příklad 4

Ke každé posloupnosti přiřaď vzorec, který splňují její členy.

1

[Potřebuji pomoc!]

Co je to aritmetická posloupnost?

U mnoha z předchozích posloupností stačilo k získání dalšího členu přičíst nějaké číslo k předchozímu členu nebo od předchozího členu nějaké číslo odečíst. Posloupnosti s touto vlastností nazýváme aritmetické posloupnosti.

Rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy aritmetické posloupnosti je vždy stejný.

Například posloupnost

3, 5, 7, 9, …

je aritmetická, protože rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy je vždy

2

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7,$ ‍		$9, …$ ‍

Posloupnost

21, 16, 11, 6, …

je také aritmetická, poněvadž rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy je vždy

- 5

	$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍
$21,$ ‍		$16,$ ‍		$11,$ ‍		$6, …$ ‍

Posloupnost

1, 2, 4, 8, …

však není aritmetická, protože rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy není vždy stejný.

	$+ 1 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$2,$ ‍		$4,$ ‍		$8, …$ ‍

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Příklad 5

Vyber všechny aritmetické posloupnosti.

[Potřebuji pomoc!]

Příklad 6

První člen posloupnosti je $1$ ‍. Které z následujících vzorců mohou splňovat její členy, aby šlo o aritmetickou posloupnost?

[Potřebuji pomoc!]

Diference

Diference aritmetické posloupnosti je hodnota konstantního rozdílu mezi jejími dvěma po sobě jdoucími členy.

Například diference posloupnosti

10, 21, 32, 43, …

11

	$+ 11 ↷$ ‍		$+ 11 ↷$ ‍		$+ 11 ↷$ ‍
$10,$ ‍		$21,$ ‍		$32,$ ‍		$43, …$ ‍

Diference posloupnosti

- 2, - 5, - 8, - 11, …

- 3

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$- 2,$ ‍		$- 5,$ ‍		$- 8,$ ‍		$- 11, …$ ‍

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

Příklad 7

Urči diferenci posloupnosti $2, 8, 14, 20, …$ ‍

[Potřebuji pomoc!]

Příklad 8

Urči diferenci posloupnosti $5, 2, - 1, - 4, …$ ‍

[Potřebuji pomoc!]

Příklad 9

Urči diferenci posloupnosti $1, 1 \frac{1}{3}, 1 \frac{2}{3}, 2, …$ ‍

[Potřebuji pomoc!]

Kontrolní otázka

Co musí platit o aritmetické posloupnosti, jejíž diference je záporná?

[Potřebuji pomoc!]

Pokročilý příklad

První člen dané aritmetické posloupnosti je

10

a její diference je

- 7

Urči čtvrtý člen této posloupnosti.

[Potřebuji pomoc!]

Co dál?

Přečti si o tom, jakými způsoby lze aritmetické posloupnosti zadávat. Zadání dané posloupnosti nám říká, jak spočítat její libovolný člen.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.