Hlavní obsah
Posloupnosti a konečné řady
Kurz: Posloupnosti a konečné řady > Kapitola 1
Lekce 2: Aritmetické posloupnosti: tvorba vzorců- Rekurentní zápis aritmetických posloupností
- Rekurentní zápis aritmetických posloupností
- Rekurentní zápis aritmetických posloupností
- Aritmetické posloupnosti a vzorec pro n-tý člen
- Aritmetické posloupnosti a vzorec pro n-tý člen
- Aritmetické posloupnosti a vzorec pro n-tý člen
- Převod mezi rekurentním zápisem aritmetické posloupnosti a vzorcem pro n-tý člen
- Převod mezi rekurentním zápisem aritmetické posloupnosti a vzorcem pro n-tý člen
- Převod mezi rekurentním zápisem aritmetické posloupnosti a vzorcem pro n-tý člen
Aritmetické posloupnosti a vzorec pro n-tý člen
Nauč se, jak najít vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti.
Ještě než s tímto článkem začneš, ujisti se, že dobře rozumíš tomu, jak lze zapisovat aritmetické posloupnosti.
Jak funguje vzorec pro n-tý člen posloupnosti
Vzorec pro n-tý člen posloupnosti 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point vypadá takto:
Přirozené číslo n ve vzorci říká, o kolikátý člen jde, zatímco a, left parenthesis, n, right parenthesis už je přímo n-tý člen.
Do vzorce pro n-tý člen tedy dosazujeme číslo, které říká, kolikátý člen posloupnosti nás zajímá, a výsledkem je právě tento člen.
Například pátý člen naší posloupnosti spočítáme tak, že do vzorce pro n-tý člen dosadíme n, equals, 5.
Výborně! Opravdu nám vyšel pátý člen posloupnosti 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!
Určení vzorce pro n-tý člen
Jako příklad si vezměme aritmetickou posloupnost 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point První člen této posloupnosti je start color #0d923f, 5, end color #0d923f a její diference je start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6.
Libovolný člen této posloupnosti spočítáme tak, že k prvnímu členu start color #0d923f, 5, end color #0d923f budeme opakovaně přičítat diferenci start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6. Podívej se, jak tento výpočet vypadá pro prvních pět členů.
n | Výpočet n-tého členu | ||
---|---|---|---|
1 | start color #0d923f, 5, end color #0d923f | equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 5 | |
2 | start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 8 | |
3 | start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 11 | |
4 | start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 14 | |
5 | start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 17 |
Z tabulky vidíme, že libovolný n-tý člen spočítáme tak, že vezmeme první člen start color #0d923f, 5, end color #0d923f a left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesiskrát k němu přičteme diferenci start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6. Algebraicky to můžeme zapsat jako start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Obecný vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti s prvním členem start color #0d923f, A, end color #0d923f a diferencí start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 pak vypadá takto:
Zkontroluj si, zda tomu rozumíš
Ekvivalentní vzorce pro n-tý člen posloupnosti
Vzorec pro n-tý člen můžeme napsat mnoha různými způsoby.
Například všechny výrazy níže jsou vzorcem pro n-tý člen posloupnosti 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
- 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis (standardní tvar)
Ačkoliv vzorce možná vypadají různě, důležité je, že když do nich dosadíme příslušné n, vždy obdržíme správný n-tý člen posloupnosti (samostatně si zkus ověřit, že to je pravda).
Různé vzorce pro n-tý člen téže posloupnosti se nazývají ekvivalentní vzorce.
Častý omyl
Aritmetické posloupnosti mohou mít mnoho různých ekvivalentních vzorců pro n-tý člen, ale je důležité mít na paměti, že pouze ze vzorce ve standardním tvaru můžeme ihned určit první člen posloupnosti a její diferenci.
Jako příklad si vezměme posloupnost 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point, point s prvním členem start color #0d923f, 2, end color #0d923f a diferencí start color #ed5fa6, 6, end color #ed5fa6.
Vzorec start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis udává n-tý člen této posloupnosti, zatímco vzorec start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, n už udává n-tý člen jiné posloupnosti.
Chceme-li vzorec 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis převést na ekvivalentní vzorec ve tvaru A, plus, B, n, tak stačí roznásobit závorku a zjednodušit výsledný výraz:
Někdo může dávat přednost vzorci minus, 4, plus, 6, n před ekvivalentním vzorcem 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, protože je kratší. Na delším vzorci je ale výhodné to, že díky němu ihned známe první člen.
Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!
Těžší příklady
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.