If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Posloupnosti a konečné řady

Kurz: Posloupnosti a konečné řady > Kapitola 1

Lekce 2: Aritmetické posloupnosti: tvorba vzorců
Matematika
Posloupnosti a konečné řady
Posloupnosti
Aritmetické posloupnosti: tvorba vzorců
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Aritmetické posloupnosti a vzorec pro n-tý člen

Učebna Google
Nauč se, jak najít vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti.
Ještě než s tímto článkem začneš, ujisti se, že dobře rozumíš tomu, jak lze zapisovat aritmetické posloupnosti.

Jak funguje vzorec pro n-tý člen posloupnosti

Vzorec pro n-tý člen posloupnosti 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point vypadá takto:
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Přirozené číslo n ve vzorci říká, o kolikátý člen jde, zatímco a, left parenthesis, n, right parenthesis už je přímo n-tý člen.
Do vzorce pro n-tý člen tedy dosazujeme číslo, které říká, kolikátý člen posloupnosti nás zajímá, a výsledkem je právě tento člen.
Například pátý člen naší posloupnosti spočítáme tak, že do vzorce pro n-tý člen dosadíme n, equals, 5.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
Výborně! Opravdu nám vyšel pátý člen posloupnosti 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Urči člen b, left parenthesis, 10, right parenthesis posloupnosti zadané vzorcem b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Určení vzorce pro n-tý člen

Jako příklad si vezměme aritmetickou posloupnost 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point První člen této posloupnosti je start color #0d923f, 5, end color #0d923f a její diference je start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6.
Libovolný člen této posloupnosti spočítáme tak, že k prvnímu členu start color #0d923f, 5, end color #0d923f budeme opakovaně přičítat diferenci start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6. Podívej se, jak tento výpočet vypadá pro prvních pět členů.
nVýpočet n-tého členu
1start color #0d923f, 5, end color #0d923fequals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 5
2start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 8
3start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 11
4start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 14
5start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 17
Z tabulky vidíme, že libovolný n-tý člen spočítáme tak, že vezmeme první člen start color #0d923f, 5, end color #0d923f a left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesiskrát k němu přičteme diferenci start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6. Algebraicky to můžeme zapsat jako start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Obecný vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti s prvním členem start color #0d923f, A, end color #0d923f a diferencí start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 pak vypadá takto:
start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

2) Napiš vzorec pro n-tý člen posloupnosti 2, comma, 9, comma, 16, comma, point, point, point
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

3) Napiš vzorec pro n-tý člen posloupnosti 9, comma, 5, comma, 1, comma, point, point, point
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

4) Vzorec pro n-tý člen dané aritmetické posloupnosti má tvar f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 6, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Jaký je první člen této posloupnosti?
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
Jaká je její diference?
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Ekvivalentní vzorce pro n-tý člen posloupnosti

Vzorec pro n-tý člen můžeme napsat mnoha různými způsoby.
Například všechny výrazy níže jsou vzorcem pro n-tý člen posloupnosti 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point
  • 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis (standardní tvar)
  • 1, plus, 2, n
  • 5, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 2, right parenthesis
Ačkoliv vzorce možná vypadají různě, důležité je, že když do nich dosadíme příslušné n, vždy obdržíme správný n-tý člen posloupnosti (samostatně si zkus ověřit, že to je pravda).
Různé vzorce pro n-tý člen téže posloupnosti se nazývají ekvivalentní vzorce.

Častý omyl

Aritmetické posloupnosti mohou mít mnoho různých ekvivalentních vzorců pro n-tý člen, ale je důležité mít na paměti, že pouze ze vzorce ve standardním tvaru můžeme ihned určit první člen posloupnosti a její diferenci.
Jako příklad si vezměme posloupnost 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point, point s prvním členem start color #0d923f, 2, end color #0d923f a diferencí start color #ed5fa6, 6, end color #ed5fa6.
Vzorec start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis udává n-tý člen této posloupnosti, zatímco vzorec start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, n už udává n-tý člen jiné posloupnosti.
Chceme-li vzorec 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis převést na ekvivalentní vzorec ve tvaru A, plus, B, n, tak stačí roznásobit závorku a zjednodušit výsledný výraz:
=2+6(n−1)=2+6n−6=−4+6n\begin{aligned}&\phantom{=}2+6(n-1)\\\\ &=2+6n-6\\\\ &=-4+6n\end{aligned}
Někdo může dávat přednost vzorci minus, 4, plus, 6, n před ekvivalentním vzorcem 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, protože je kratší. Na delším vzorci je ale výhodné to, že díky němu ihned známe první člen.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

5) Vyber všechny ekvivalentní vzorce pro n-tý člen posloupnosti 12, comma, 7, comma, 2, comma, point, point, point
Vyber všechny správné odpovědi.

Těžší příklady

6*) Urči 124, start superscript, start text, end text, end superscript. člen aritmetické posloupnosti 199, comma, 196, comma, 193, comma, point, point, point
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7) Prvním členem dané aritmetické posloupnosti je 5 a jejím desátým členem je 59.
Jaká je diference této posloupnosti?
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.