Pokud vidíš tuto zprávu, znamená to, že máš problém s načítáním externích zdrojů na našich stránkách.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hlavní obsah

Kurz: Posloupnosti a konečné řady > Kapitola 1

Lekce 2: Aritmetické posloupnosti: tvorba vzorců
Matematika
Posloupnosti a konečné řady
Posloupnosti
Aritmetické posloupnosti: tvorba vzorců
© 2024 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Aritmetické posloupnosti a vzorec pro n-tý člen

Učebna Google
Nauč se, jak najít vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti.
Ještě než s tímto článkem začneš, ujisti se, že dobře rozumíš tomu, jak lze zapisovat aritmetické posloupnosti.

Jak funguje vzorec pro n-tý člen posloupnosti

Vzorec pro n-tý člen posloupnosti 3,5,7,… vypadá takto:
a(n)=3+2(n−1)
Přirozené číslo n ve vzorci říká, o kolikátý člen jde, zatímco a(n) už je přímo n-tý člen.
Do vzorce pro n-tý člen tedy dosazujeme číslo, které říká, kolikátý člen posloupnosti nás zajímá, a výsledkem je právě tento člen.
Například pátý člen naší posloupnosti spočítáme tak, že do vzorce pro n-tý člen dosadíme n=5.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11
Výborně! Opravdu nám vyšel pátý člen posloupnosti 3,5,7,…

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Urči člen b(10) posloupnosti zadané vzorcem b(n)=−5+9(n−1).
b(10)=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Určení vzorce pro n-tý člen

Jako příklad si vezměme aritmetickou posloupnost 5,8,11,… První člen této posloupnosti je 5 a její diference je 3.
Libovolný člen této posloupnosti spočítáme tak, že k prvnímu členu 5 budeme opakovaně přičítat diferenci 3. Podívej se, jak tento výpočet vypadá pro prvních pět členů.
nVýpočet n-tého členu
15=5+0⋅3=5
25+3=5+1⋅3=8
35+3+3=5+2⋅3=11
45+3+3+3=5+3⋅3=14
55+3+3+3+3=5+4⋅3=17
Z tabulky vidíme, že libovolný n-tý člen spočítáme tak, že vezmeme první člen 5 a (n−1)krát k němu přičteme diferenci 3. Algebraicky to můžeme zapsat jako 5+3(n−1).
Obecný vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti s prvním členem A a diferencí B pak vypadá takto:
A+B(n−1)

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš

2) Napiš vzorec pro n-tý člen posloupnosti 2,9,16,…
d(n)=

3) Napiš vzorec pro n-tý člen posloupnosti 9,5,1,…
e(n)=

4) Vzorec pro n-tý člen dané aritmetické posloupnosti má tvar f(n)=−6+2(n−1).
Jaký je první člen této posloupnosti?
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi
Jaká je její diference?
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Ekvivalentní vzorce pro n-tý člen posloupnosti

Vzorec pro n-tý člen můžeme napsat mnoha různými způsoby.
Například všechny výrazy níže jsou vzorcem pro n-tý člen posloupnosti 3,5,7,…
  • 3+2(n−1) (standardní tvar)
  • 1+2n
  • 5+2(n−2)
Ačkoliv vzorce možná vypadají různě, důležité je, že když do nich dosadíme příslušné n, vždy obdržíme správný n-tý člen posloupnosti (samostatně si zkus ověřit, že to je pravda).
Různé vzorce pro n-tý člen téže posloupnosti se nazývají ekvivalentní vzorce.

Častý omyl

Aritmetické posloupnosti mohou mít mnoho různých ekvivalentních vzorců pro n-tý člen, ale je důležité mít na paměti, že pouze ze vzorce ve standardním tvaru můžeme ihned určit první člen posloupnosti a její diferenci.
Jako příklad si vezměme posloupnost 2,8,14,… s prvním členem 2 a diferencí 6.
Vzorec 2+6(n−1) udává n-tý člen této posloupnosti, zatímco vzorec 2+6n už udává n-tý člen jiné posloupnosti.
Chceme-li vzorec 2+6(n−1) převést na ekvivalentní vzorec ve tvaru A+Bn, tak stačí roznásobit závorku a zjednodušit výsledný výraz:
=2+6(n−1)=2+6n−6=−4+6n
Někdo může dávat přednost vzorci −4+6n před ekvivalentním vzorcem 2+6(n−1), protože je kratší. Na delším vzorci je ale výhodné to, že díky němu ihned známe první člen.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

5) Vyber všechny ekvivalentní vzorce pro n-tý člen posloupnosti 12,7,2,…
Vyber všechny správné odpovědi.

Těžší příklady

6*) Urči 124. člen aritmetické posloupnosti 199,196,193,…
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

7) Prvním členem dané aritmetické posloupnosti je 5 a jejím desátým členem je 59.
Jaká je diference této posloupnosti?
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.