If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Posloupnosti a konečné řady

Kurz: Posloupnosti a konečné řady > Kapitola 1

Lekce 2: Aritmetické posloupnosti: tvorba vzorců
Matematika
Posloupnosti a konečné řady
Posloupnosti
Aritmetické posloupnosti: tvorba vzorců
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Převod mezi rekurentním zápisem aritmetické posloupnosti a vzorcem pro n-tý člen

Učebna Google
Nauč se, jak přecházet mezi rekurentním zápisem aritmetické posloupnosti a vzorcem pro její n-tý člen.
Ještě než s tímto článkem začneš, ujisti se, že umíš určit rekurentní zadání dané aritmetické posloupnosti a také vzorec pro její n-tý člen.

Převod rekurentního zadání na vzorec pro n-tý člen

Jako příklad si vezměme následující aritmetickou posloupnost zadanou rekurentně:
{a(1)=3a(n)=a(n−1)+2
Připomeňme, že z tohoto typu zápisu ihned obdržíme následující dvě informace:
  • První člen je 3
  • Libovolný další člen spočítáme tak, že k jeho předcházejícímu členu přičteme 2. Jinak řečeno, diference je 2.
Zkusme nyní najít vzorec pro n-tý člen této posloupnosti.
Připomeňme, že vzorec pro n-tý člen posloupnosti s prvním členem A a diferencí B má standardní tvar A+B(n−1).
Vzorec pro n-tý člen naší posloupnosti je tudíž a(n)=3+2(n−1).

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Napiš vzorec pro n-tý člen následující posloupnosti.
{b(1)=−22b(n)=b(n−1)+7
b(n)=

2) Napiš vzorec pro n-tý člen následující posloupnosti.
{c(1)=8c(n)=c(n−1)−13
c(n)=

Převod vzorce pro n-tý člen na rekurentní zadání

Příklad 1: Vzorec je uveden ve standardním tvaru

Jako příklad si vezměme aritmetickou posloupnost s následujícím vzorcem pro její n-tý člen:
d(n)=5+16(n−1)
Tento vzorec je ve standardním tvaru A+B(n−1), kde A je první člen posloupnosti a B je její diference. Víme tedy, že
  • první člen posloupnosti je 5,
  • diference je 16.
Zkusme nyní najít rekurentní zadání naší posloupnosti. Připomeňme, že rekurentní zadání musí obsahovat tyto dvě informace:
  1. První člen (což je 5)
  2. Pravidlo, jak spočítat libovolný další člen pomocí předcházejícího členu (což je v tomto případě "přičti 16")
Rekurentní zadání naší aritmetické posloupnosti tudíž vypadá takto:
{d(1)=5d(n)=d(n−1)+16

Příklad 2: Vzorec je uveden ve zjednodušeném tvaru

Jako příklad si vezměme aritmetickou posloupnost s následujícím vzorcem pro její n-tý člen:
e(n)=10+2n
Všimni si, že tento vzorec není ve standardním tvaru A+B(n−1).
Z tohoto důvodu nemůžeme jen při pohledu na vzorec určit první člen posloupnosti ani její diferenci. Místo toho si však můžeme spočítat první dva členy:
  • e(1)=10+2⋅1=12
  • e(2)=10+2⋅2=14
Teď už vidíme, že první člen posloupnosti je 12 a že její diference je 2.
Rekurentní zadání naší aritmetické posloupnosti tudíž vypadá takto:
{e(1)=12e(n)=e(n−1)+2

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

3) Vzorec pro n-tý člen dané aritmetické posloupnosti má tvar f(n)=5+12(n−1).
Doplň chybějící čísla v rekurentním zadání této posloupnosti.
{f(1)=Af(n)=f(n−1)+B
A=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi
B=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

4) Vzorec pro n-tý člen dané aritmetické posloupnosti má tvar g(n)=−11−8(n−1).
Doplň chybějící čísla v rekurentním zadání této posloupnosti.
{g(1)=Ag(n)=g(n−1)+B
A=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi
B=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

5) Vzorec pro n-tý člen dané aritmetické posloupnosti má tvar h(n)=1+4n.
Doplň chybějící čísla v rekurentním zadání této posloupnosti.
{h(1)=Ah(n)=h(n−1)+B
A=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi
B=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

6) Vzorec pro n-tý člen dané aritmetické posloupnosti má tvar i(n)=23−6n.
Doplň chybějící čísla v rekurentním zadání této posloupnosti.
{i(1)=Ai(n)=i(n−1)+B
A=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi
B=
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3/5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7/4
  • smíšené číslo, například 1 3/4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12 pi or 2/3 pi

Výzva

7*) Vyber všechny zápisy, kterými lze zadat aritmetickou posloupnost 101,114,127,…
Vyber všechny správné odpovědi.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.