If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Posloupnosti a konečné řady

Kurz: Posloupnosti a konečné řady > Kapitola 1

Lekce 2: Aritmetické posloupnosti: tvorba vzorců
Matematika
Posloupnosti a konečné řady
Posloupnosti
Aritmetické posloupnosti: tvorba vzorců
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Převod mezi rekurentním zápisem aritmetické posloupnosti a vzorcem pro n-tý člen

Učebna Google
Nauč se, jak přecházet mezi rekurentním zápisem aritmetické posloupnosti a vzorcem pro její n-tý člen.
Ještě než s tímto článkem začneš, ujisti se, že umíš určit rekurentní zadání dané aritmetické posloupnosti a také vzorec pro její n-tý člen.

Převod rekurentního zadání na vzorec pro n-tý člen

Jako příklad si vezměme následující aritmetickou posloupnost zadanou rekurentně:
{a(1)=3a(n)=a(n−1)+2\begin{cases} a(1)=\greenE 3 \\\\ a(n)=a(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}
Připomeňme, že z tohoto typu zápisu ihned obdržíme následující dvě informace:
  • První člen je start color #0d923f, 3, end color #0d923f
  • Libovolný další člen spočítáme tak, že k jeho předcházejícímu členu přičteme start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6. Jinak řečeno, diference je start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Zkusme nyní najít vzorec pro n-tý člen této posloupnosti.
Připomeňme, že vzorec pro n-tý člen posloupnosti s prvním členem start color #0d923f, A, end color #0d923f a diferencí start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 má standardní tvar start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Vzorec pro n-tý člen naší posloupnosti je tudíž a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 2, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

1) Napiš vzorec pro n-tý člen následující posloupnosti.
{b(1)=−22b(n)=b(n−1)+7\begin{cases} b(1)=-22 \\\\ b(n)=b(n-1)+7 \end{cases}
b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

2) Napiš vzorec pro n-tý člen následující posloupnosti.
{c(1)=8c(n)=c(n−1)−13\begin{cases} c(1)=8 \\\\ c(n)=c(n-1)-13 \end{cases}
c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

Převod vzorce pro n-tý člen na rekurentní zadání

Příklad 1: Vzorec je uveden ve standardním tvaru

Jako příklad si vezměme aritmetickou posloupnost s následujícím vzorcem pro její n-tý člen:
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 16, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Tento vzorec je ve standardním tvaru start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, kde start color #0d923f, A, end color #0d923f je první člen posloupnosti a start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 je její diference. Víme tedy, že
  • první člen posloupnosti je start color #0d923f, 5, end color #0d923f,
  • diference je start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6.
Zkusme nyní najít rekurentní zadání naší posloupnosti. Připomeňme, že rekurentní zadání musí obsahovat tyto dvě informace:
  1. První člen left parenthesiscož je start color #0d923f, 5, end color #0d923f, right parenthesis
  2. Pravidlo, jak spočítat libovolný další člen pomocí předcházejícího členu left parenthesiscož je v tomto případě "přičti start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6"right parenthesis
Rekurentní zadání naší aritmetické posloupnosti tudíž vypadá takto:
{d(1)=5d(n)=d(n−1)+16\begin{cases} d(1)=\greenE 5\\\\ d(n)=d(n-1)\maroonC{+16} \end{cases}

Příklad 2: Vzorec je uveden ve zjednodušeném tvaru

Jako příklad si vezměme aritmetickou posloupnost s následujícím vzorcem pro její n-tý člen:
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, n
Všimni si, že tento vzorec není ve standardním tvaru start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Z tohoto důvodu nemůžeme jen při pohledu na vzorec určit první člen posloupnosti ani její diferenci. Místo toho si však můžeme spočítat první dva členy:
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, 12
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 2, end color #11accd, equals, 14
Teď už vidíme, že první člen posloupnosti je start color #0d923f, 12, end color #0d923f a že její diference je start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Rekurentní zadání naší aritmetické posloupnosti tudíž vypadá takto:
{e(1)=12e(n)=e(n−1)+2\begin{cases} e(1)=\greenE{12}\\\\ e(n)=e(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

3) Vzorec pro n-tý člen dané aritmetické posloupnosti má tvar f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 5, plus, 12, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Doplň chybějící čísla v rekurentním zadání této posloupnosti.
{f(1)=Af(n)=f(n−1)+B\begin{cases} f(1)=A\\\\ f(n)=f(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) Vzorec pro n-tý člen dané aritmetické posloupnosti má tvar g, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 11, minus, 8, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Doplň chybějící čísla v rekurentním zadání této posloupnosti.
{g(1)=Ag(n)=g(n−1)+B\begin{cases} g(1)=A\\\\ g(n)=g(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5) Vzorec pro n-tý člen dané aritmetické posloupnosti má tvar h, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 1, plus, 4, n.
Doplň chybějící čísla v rekurentním zadání této posloupnosti.
{h(1)=Ah(n)=h(n−1)+B\begin{cases} h(1)=A\\\\ h(n)=h(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) Vzorec pro n-tý člen dané aritmetické posloupnosti má tvar i, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 23, minus, 6, n.
Doplň chybějící čísla v rekurentním zadání této posloupnosti.
{i(1)=Ai(n)=i(n−1)+B\begin{cases} i(1)=A\\\\ i(n)=i(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Výzva

7*) Vyber všechny zápisy, kterými lze zadat aritmetickou posloupnost 101, comma, 114, comma, 127, comma, point, point, point
Vyber všechny správné odpovědi.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.