Hlavní obsah
Komplexní čísla
Kurz: Komplexní čísla > Kapitola 3
Lekce 1: Vzdálenost a střed spojnice čísel v komplexní roviněVzdálenost a střed spojnice čísel v komplexní rovině
Ve videu nejprve spočítáme vzdálenost komplexních čísel (2+3i) a (-5-i) a následně určíme, které číslo odpovídá středu jejich spojnice v komplexní rovině. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme tady 2 komplexní čísla: <i>z</i> = 2 + 3<i>i</i> a
<i>w </i> = -5 - <i>i</i> A dnes bychom si je rádi zakreslili
do této komplexní roviny, potom na základě toho spočítali jejich
vzdálenost a střed jejich spojnice, tedy bod, který leží přesně uprostřed
mezi těmito 2 komplexními čísly. Video si jako vždy zastavte a zkuste
si to prvně sami. A my se na to teď podíváme
společně. B od <i>z </i> = 2 + 3<i>i</i>, reálná část je 2,
imaginární je 3 Na reálné ose 2 a na imaginární 3. Bod <i>z</i> leží tady.
Komplexní číslo <i>z</i> leží tady. Komplexní číslo <i>w </i> je -5 - <i>i</i>
a na reálné ose -5 a na imaginární -<i>i</i> tedy -1. Komplexní číslo <i>w </i> je
v komplexní rovině přímo tady. Čísla máme zakreslená, my bychom tady
rádi zjistili tu jejich vzdálenost, jak už jsme si řekli.
A tedy přesně toto. Jak dlouhá je spojnice těchto 2 bodů.
Můžeme jí říkat <i>x</i> Jak myslíte, že by se vzdálenost
těchto bodů mohla spočítat? Zkusme úplně jednoduše použít
Pythagorovu větu. A spočítáme si přeponu pomocí
2 odvěsen. O kolik se posuneme od čísla <i>w</i> po číslo <i>z</i> v reálné části? Jdeme od -5 po 2. A tato vzdálenost je 7. Máme jednu odvěsnu a teď,
o kolik se posuneme od čísla <i>w</i> po číslo <i>z</i> v komplesní rovině
v imaginární části? Na imaginární ose. Jdeme od -1 po +3 a toto je 4. Pythagorovu větu všichni známe a
počítáme takto: <i>x</i> na druhou - přepona, kterou chceme, druhá mocnina této přepony se rovná
7 na druhou + 4 na druhou... druhé mocniny těchto odvěsen. <i>x</i> na druhou se rovná 49 + 16 <i>x</i> se rovná odmocnině z toho,
49 + 16 to je 65 Zkusíme si to rozložit na prvočísla,
jestli tam nenajdeme druhou mocninu, kterou můžeme dále odmocnit alespoň
částečně. 65 je 5 krát 13, to už dále nerozložíme,
žádná druhá mocnina tam není a toto je tedy náš výsledek. Délka <i>x</i> je vzdálenost mezi těmito 2 body,
mezi těmito 2 komplexními čísly a je to odmocnina z 65,
což je něco málo přes 8. Vzdálenost mezi těmito dvěma čísly
máme spočítanou a ještě bychom rádi našli střed
jejich spojnice, bod který leží přesně mezi těmito
2 čísly v komplexní rovině. Ten bude někde tady, když si to
představíme graficky. A jak to spočítáme? Jednoduše vezmeme průměr jejich reálných
částí a průměr imaginárních částí. Ten bod, můžeme mu říkat třeba <i>a</i>,
se bude rovnat průměr reálných částí... 2+(-5) lomeno 2,
to je ta reálná část plus průměr imaginárních částí 3+(-1)
lomeno 2, to je ta imaginární část, nezapomeneme dopsat <i>i</i>. A <i>a</i> se tedy rovná...
počítáme 2 plus -5 je -3 lomeno 2 a tedy -3/2 plus 3 + (-1) , to jsou 2 lomeno 2 je 1
plus jedno <i>i</i>, neboli plus <i>i</i>. Toto je náš hledaný bod <i>a</i>,
který by měl být středem spojnice těchto dvou bodů.
Měl by ležet přesně mezi těmito 2 komplexními čísly
v komplexní rovině. Pojďme si ho ještě zakreslit do komplexní
roviny, abychom zjistili, jestli to je tomu opravdu tak. Reálná část - 3/2 to je -1 a 1/2,
takže někde tady a +<i>i</i> je + 1<i>i</i>, což je tady. A ano, opravdu ten bod leží
na jejich spojnici a když se na to podíváme graficky, tak
leží přesně uprostřed. To je náš bod <i>a</i> a my máme hotovo!