Vzdálenost a střed spojnice čísel v komplexní rovině

Máme tady 2 komplexní čísla: <i>z</i> = 2 + 3<i>i</i> a <i>w </i> = -5 - <i>i</i> A dnes bychom si je rádi zakreslili do této komplexní roviny, potom na základě toho spočítali jejich vzdálenost a střed jejich spojnice, tedy bod, který leží přesně uprostřed mezi těmito 2 komplexními čísly. Video si jako vždy zastavte a zkuste si to prvně sami. A my se na to teď podíváme společně. B od <i>z </i> = 2 + 3<i>i</i>, reálná část je 2, imaginární je 3 Na reálné ose 2 a na imaginární 3. Bod <i>z</i> leží tady. Komplexní číslo <i>z</i> leží tady. Komplexní číslo <i>w </i> je -5 - <i>i</i> a na reálné ose -5 a na imaginární -<i>i</i> tedy -1. Komplexní číslo <i>w </i> je v komplexní rovině přímo tady. Čísla máme zakreslená, my bychom tady rádi zjistili tu jejich vzdálenost, jak už jsme si řekli. A tedy přesně toto. Jak dlouhá je spojnice těchto 2 bodů. Můžeme jí říkat <i>x</i> Jak myslíte, že by se vzdálenost těchto bodů mohla spočítat? Zkusme úplně jednoduše použít Pythagorovu větu. A spočítáme si přeponu pomocí 2 odvěsen. O kolik se posuneme od čísla <i>w</i> po číslo <i>z</i> v reálné části? Jdeme od -5 po 2. A tato vzdálenost je 7. Máme jednu odvěsnu a teď, o kolik se posuneme od čísla <i>w</i> po číslo <i>z</i> v komplesní rovině v imaginární části? Na imaginární ose. Jdeme od -1 po +3 a toto je 4. Pythagorovu větu všichni známe a počítáme takto: <i>x</i> na druhou - přepona, kterou chceme, druhá mocnina této přepony se rovná 7 na druhou + 4 na druhou... druhé mocniny těchto odvěsen. <i>x</i> na druhou se rovná 49 + 16 <i>x</i> se rovná odmocnině z toho, 49 + 16 to je 65 Zkusíme si to rozložit na prvočísla, jestli tam nenajdeme druhou mocninu, kterou můžeme dále odmocnit alespoň částečně. 65 je 5 krát 13, to už dále nerozložíme, žádná druhá mocnina tam není a toto je tedy náš výsledek. Délka <i>x</i> je vzdálenost mezi těmito 2 body, mezi těmito 2 komplexními čísly a je to odmocnina z 65, což je něco málo přes 8. Vzdálenost mezi těmito dvěma čísly máme spočítanou a ještě bychom rádi našli střed jejich spojnice, bod který leží přesně mezi těmito 2 čísly v komplexní rovině. Ten bude někde tady, když si to představíme graficky. A jak to spočítáme? Jednoduše vezmeme průměr jejich reálných částí a průměr imaginárních částí. Ten bod, můžeme mu říkat třeba <i>a</i>, se bude rovnat průměr reálných částí... 2+(-5) lomeno 2, to je ta reálná část plus průměr imaginárních částí 3+(-1) lomeno 2, to je ta imaginární část, nezapomeneme dopsat <i>i</i>. A <i>a</i> se tedy rovná... počítáme 2 plus -5 je -3 lomeno 2 a tedy -3/2 plus 3 + (-1) , to jsou 2 lomeno 2 je 1 plus jedno <i>i</i>, neboli plus <i>i</i>. Toto je náš hledaný bod <i>a</i>, který by měl být středem spojnice těchto dvou bodů. Měl by ležet přesně mezi těmito 2 komplexními čísly v komplexní rovině. Pojďme si ho ještě zakreslit do komplexní roviny, abychom zjistili, jestli to je tomu opravdu tak. Reálná část - 3/2 to je -1 a 1/2, takže někde tady a +<i>i</i> je + 1<i>i</i>, což je tady. A ano, opravdu ten bod leží na jejich spojnici a když se na to podíváme graficky, tak leží přesně uprostřed. To je náš bod <i>a</i> a my máme hotovo!