Pokud vidíš tuto zprávu, znamená to, že máš problém s načítáním externích zdrojů na našich stránkách.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hlavní obsah

Rozklad součtu druhých mocnin na součin pomocí komplexních čísel

Podíváme se na to, jak můžeme výraz tvaru x^2+y^2 rozložit na součin dvou lineárních výrazů. Bez komplexních čísel by něco takového nebylo možné! Tvůrce: Sal Khan.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Transkript

Kdysi dávno jsme se učili, jak rozložit na součin věci podobného typu, jako máme tady. x na druhou minus y na druhou, tedy rozdíl druhých mocnin. A my už dávno víme, že to můžeme rozložit jako x + y krát x - y. Můžeme si to pro jistotu ještě ověřit, jestli si to pamatujeme správně. x krát x, roznásobíme si to, je x na druhou, x krát -y je -xy, y krát x je +xy, y krát -y je -y na druhou. Tyto dva členy se nám vyruší a dostaneme tedy x na druhou -y na druhou. Opravdu nás paměť neklame, toto je správně. Co jsme ale v té době neuměli a nedokázali jsme spočítat, nebo spíše rozložit na součin, byly věci tohoto typu. x na druhou + y na druhou, a tedy součet druhých mocnin. Co s takovým součtem druhých mocnin? To jsme neuměli, ale to bylo předtím, než jsme znali komplexní čísla. A teď si ukážeme, že už to je úplně jednoduché. Zkusíme si tedy tento součet druhých mocnin vyjádřit jako rozdíl druhých mocnin pomocí imaginární jednotky. Video si zase zastavte a zkuste si to sami. A my teď na to půjdeme společně. Chceme toto vyjádřit jako rozdíl druhých mocnin. Takže bychom to mohli jenom trošku přepsat jako: x na druhou mínus, a jelikož tady chci mít minus a tady je plus, tak tohle musím také dát do minusu, musím tomu dát záporné znaménko, takže bych to mohla napsat jako -y na druhou. x na druhou minus -y na druhou dává +y na druhou, to je v pořádku. Můžu si to ještě představit tak, že odečítám -y na druhou je to samé jako -1y na druhou. Tedy -1y na druhou. Co teď s tím dál, říkáte si. Teď bychom chtěli celou tuto věc, celý tento druhý člen, vyjádřit jako druhou mocninu, abychom se dostali k tomu rozdílu druhých mocnin, o kterém se tady celou dobu bavíme. y na druhou, to už je druhá mocnina, ale co -1? Co s -1? -1 je druhá mocnina něčeho? No, to už přece dávno víme. -1 je druhou mocninou imaginární jednotky i. -1 to je i na druhou. Takže to celé můžeme tedy přepsat jako: x na druhou minus i na druhou krát y na druhou. Jenom to -1 přepíšeme jako i na druhou. Tak, a teď už se blížíme do finiše, poněvadž to přepíšeme jako x na druhou minus… Já si jenom přehodím pořadí v součinu, ať to vypadá tak, jak jsme zvyklí to vídat. A bude to tedy yi, to celé na druhou. A dostali jsme se přesně k tomu, k čemu jsme chtěli. Dostali jsme rozdíl druhých mocnin, na který jsme ten součet převedli pomocí imaginární jednotky i. To bychom měli hotové a když teď tedy máme rozdíl těch druhých mocnin, tak bychom si to mohli rozložit na součin přesně jako tady. A tedy vezmeme základy těch druhých mocnin a prvně je sečteme a pak je od sebe odečteme. Takže to bude: x + yi krát x - yi. Takto jsme toto rozložili na součin. Pojďme si ještě ověřit, jestli jsme počítali správně. Roznásobíme si to. x krát x je x na druhou, x krát -yi je -xyi, yi krát x je +xyi, a yi krát -yi je -y na druhou i na druhou. Tohle se nám vyruší a dostaneme: x na druhou minus y na druhou i na druhou. Víme, že i na druhou je -1 a tedy by to bylo minus -1y na druhou, minus a minus dává plus, a bylo by to tedy +1y na druhou, jedničku můžeme vynechat, a tedy +y na druhou. A jsme zpátky tady, kde jsme začali. Toto pro nás kdysi bylo velkým oříškem a něčím, co jsme nedokázali spočítat. Ale jak teď vidíte, pomocí komplexních čísel a imaginární jednotky jsme bez problémů tento součet druhých mocnin převedli na rozdíl druhých mocnin, který jsme si dále rozložili na součin dvou komplexních čísel. A máme hotovo.