Rozklad součtu druhých mocnin na součin pomocí komplexních čísel

Kdysi dávno jsme se učili, jak rozložit na součin věci podobného typu, jako máme tady. x na druhou minus y na druhou, tedy rozdíl druhých mocnin. A my už dávno víme, že to můžeme rozložit jako x + y krát x - y. Můžeme si to pro jistotu ještě ověřit, jestli si to pamatujeme správně. x krát x, roznásobíme si to, je x na druhou, x krát -y je -xy, y krát x je +xy, y krát -y je -y na druhou. Tyto dva členy se nám vyruší a dostaneme tedy x na druhou -y na druhou. Opravdu nás paměť neklame, toto je správně. Co jsme ale v té době neuměli a nedokázali jsme spočítat, nebo spíše rozložit na součin, byly věci tohoto typu. x na druhou + y na druhou, a tedy součet druhých mocnin. Co s takovým součtem druhých mocnin? To jsme neuměli, ale to bylo předtím, než jsme znali komplexní čísla. A teď si ukážeme, že už to je úplně jednoduché. Zkusíme si tedy tento součet druhých mocnin vyjádřit jako rozdíl druhých mocnin pomocí imaginární jednotky. Video si zase zastavte a zkuste si to sami. A my teď na to půjdeme společně. Chceme toto vyjádřit jako rozdíl druhých mocnin. Takže bychom to mohli jenom trošku přepsat jako: x na druhou mínus, a jelikož tady chci mít minus a tady je plus, tak tohle musím také dát do minusu, musím tomu dát záporné znaménko, takže bych to mohla napsat jako -y na druhou. x na druhou minus -y na druhou dává +y na druhou, to je v pořádku. Můžu si to ještě představit tak, že odečítám -y na druhou je to samé jako -1y na druhou. Tedy -1y na druhou. Co teď s tím dál, říkáte si. Teď bychom chtěli celou tuto věc, celý tento druhý člen, vyjádřit jako druhou mocninu, abychom se dostali k tomu rozdílu druhých mocnin, o kterém se tady celou dobu bavíme. y na druhou, to už je druhá mocnina, ale co -1? Co s -1? -1 je druhá mocnina něčeho? No, to už přece dávno víme. -1 je druhou mocninou imaginární jednotky i. -1 to je i na druhou. Takže to celé můžeme tedy přepsat jako: x na druhou minus i na druhou krát y na druhou. Jenom to -1 přepíšeme jako i na druhou. Tak, a teď už se blížíme do finiše, poněvadž to přepíšeme jako x na druhou minus… Já si jenom přehodím pořadí v součinu, ať to vypadá tak, jak jsme zvyklí to vídat. A bude to tedy yi, to celé na druhou. A dostali jsme se přesně k tomu, k čemu jsme chtěli. Dostali jsme rozdíl druhých mocnin, na který jsme ten součet převedli pomocí imaginární jednotky i. To bychom měli hotové a když teď tedy máme rozdíl těch druhých mocnin, tak bychom si to mohli rozložit na součin přesně jako tady. A tedy vezmeme základy těch druhých mocnin a prvně je sečteme a pak je od sebe odečteme. Takže to bude: x + yi krát x - yi. Takto jsme toto rozložili na součin. Pojďme si ještě ověřit, jestli jsme počítali správně. Roznásobíme si to. x krát x je x na druhou, x krát -yi je -xyi, yi krát x je +xyi, a yi krát -yi je -y na druhou i na druhou. Tohle se nám vyruší a dostaneme: x na druhou minus y na druhou i na druhou. Víme, že i na druhou je -1 a tedy by to bylo minus -1y na druhou, minus a minus dává plus, a bylo by to tedy +1y na druhou, jedničku můžeme vynechat, a tedy +y na druhou. A jsme zpátky tady, kde jsme začali. Toto pro nás kdysi bylo velkým oříškem a něčím, co jsme nedokázali spočítat. Ale jak teď vidíte, pomocí komplexních čísel a imaginární jednotky jsme bez problémů tento součet druhých mocnin převedli na rozdíl druhých mocnin, který jsme si dále rozložili na součin dvou komplexních čísel. A máme hotovo.