If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Komplexní rovina

Přečti si o rovině komplexních čísel a o tom, jak do ní každé komplexní číslo správně zakreslit.
Imaginární jednotka i je číslo splňující:
  • i, squared, equals, minus, 1
  • square root of, minus, 1, end square root, equals, i
Komplexním číslem rozumíme číslo, které lze zapsat ve tvaru start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, kde i je imaginární jednotka a start color #1fab54, a, end color #1fab54 a start color #11accd, b, end color #11accd jsou reálná čísla.
Číslo start color #1fab54, a, end color #1fab54 se nazývá start color #1fab54, start text, r, e, a, with, \', on top, l, n, a, with, \', on top, end text, end color #1fab54 část daného komplexního čísla, číslu start color #11accd, b, end color #11accd pak říkáme start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, with, \', on top, r, n, ı, with, \', on top, end text, end color #11accd část.

Komplexní rovina

Komplexní rovina, které se také říká Gaussova rovina, nám slouží ke znázornění množiny všech komplexních čísel. Jde o podobný případ, jako když jsme reálná čísla znázorňovali na číselné ose.
Komplexní rovina sestává ze dvou číselných os, které jsou na sebe kolmé a protínají se v bodě open bracket, 0, ;, 0, close bracket.
Vodorovná číselná osa (které bychom v kartézských souřadnicích říkali osa x) se nazývá reálná osa.
Svislé číselné ose (v kartézských souřadnicích by šlo o osu y) říkáme imaginární osa.

Zakreslování komplexních čísel do komplexní roviny

Každému komplexnímu číslu můžeme přiřadit bod v komplexní rovině.
Jako příklad si vezměme číslo 3, minus, 5, i, které můžeme napsat také jako start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i. Reálná část tohoto čísla je start color #1fab54, 3, end color #1fab54 a jeho imaginární část je start color #11accd, minus, 5, end color #11accd.
Příslušný bod v komplexní rovině odpovídající tomuto číslu má na reálné ose souřadnici start color #1fab54, 3, end color #1fab54 a na imaginární ose souřadnici start color #11accd, minus, 5, end color #11accd.
Číslu start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i tak odpovídá bod open bracket, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, ;, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, close bracket. Obecně platí, že komplexnímu číslu start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i v komplexní rovině odpovídá bod open bracket, start color #1fab54, a, end color #1fab54, ;, start color #11accd, b, end color #11accd, close bracket.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš správně

Příklad 1
Do komplexní roviny zakresli číslo minus, 4, plus, 7, i.

Příklad 2
Do komplexní roviny zakresli číslo 6, i, plus, 1.

Příklad 3
Do komplexní roviny zakresli číslo minus, i, minus, 3.

Příklad 4
Do komplexní roviny zakresli číslo 4, i.

Příklad 5
Do komplexní roviny zakresli číslo minus, 7.

Souvislost mezi komplexní rovinou a reálnou číselnou osou

V dobách Pythagora byla existence iracionálních čísel překvapivým objevem! Staří Řekové se tehdy divili, jak může číslo jako square root of, 2, end square root existovat, když ho nelze přesně vyjádřit jako desetinné číslo s konečným počtem míst nebo s periodou.
Reálná číselná osa toto dilema pomohla vyřešit. Proč? square root of, 2, end square root má totiž na této ose své přesné místo, což znamená, že skutečně jde o reálné číslo. (Když vezmeš úhlopříčku čtverce se stranou délky 1 a jeden její konec položíš do bodu 0, její druhý konec ležící na kladné reálné poloose bude odpovídat číslu square root of, 2, end square root.)
Podobně je to s komplexními čísly. Každé komplexní číslo skutečně existuje, protože má své přesné místo v komplexní rovině! Když už jsme tato čísla schopni znázornit, používat v souvislosti s nimi slovo „imaginární“ se zdá být poněkud nešťastné historické rozhodnutí.
Komplexní čísla existují a jsou nedílnou součástí matematiky. Reálná číselná osa je jednoduše jen reálnou osou v komplexní rovině. Mimo tuto osu toho však existuje mnohem více!