Hlavní obsah
Komplexní čísla
Kurz: Komplexní čísla > Kapitola 2
Lekce 1: Sčítání a odčítání komplexních číselSčítání komplexních čísel
Ukážeme si, jak sečíst (5+2i) a (3-7i). Vytvořili: Sal Khan a Monterey Institute for Technology and Education.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme sečíst tato dvě komplexní
čísla (5 + 2i) + (3 + 7i). Když sčítáme komplexní
čísla, tak vždy sčítáme dohromady reálnou část s reálnou a imaginární
s imaginární. Nikdy nesčítáme dohromady reálnou
a imaginární nebo naopak. Tak pojďme na to. Napíšeme si to tady dolů,
ať se nám s tím lépe pracuje. (5 + 2i) + (3 + 7i) Takže tady máme naši reálnou část
komplexních čísel a tady tu imaginární. Reálné části to je pět
plus tři. A teď plus imaginární části 2i
plus 7i a to nám ve výsledku bude
dávat 5 + 3 je 8 plus 2i plus 7i je 9i. 8 plus 9 i a máme hotovo. My jsme si teď ukázali, jak sčítat
komplexní čísla tak, že vezmeme ty reálné části sečteme a vezmeme si
imaginární části a ty sečteme. To jsme udělali teď. Měli jsme tato dvě
komplexní čísla, já jsem ji tedy pojmenovala jako z1 a z2. A
výsledek toho součtu jsem pojmenovala jako z3. To je tedy to
8 plus 9i, což je výsledek, ke kterému jsme došli před chvilkou. A
já bych vám teď ještě rychle chtěla ukázat, jak sčítat komplexní čísla
graficky. Mám tady připravenou naši Gaussovu
rovinu, se kterou jsme pracovali, když jsme si ukazovali, jak zaznačit
komplexní čísla do takovéto roviny. Je to jednoduché místo osy
x a y máme tedy osu reálnou, osu imaginární, na ose reálné označujeme
reálné části komplexního čísla, na ose imaginární ty imaginární části. Já si tu zaznačím tato dvě čísla
z1 a z2, takže z1 5 plus dvě i, 5 a 2,takže to bude ležet tady. Dělám
to rychle, protože už to známe. z2: 3 plus 7, 3 a 7. Pokud vám tohleto přijde nějakým
způsobem zvláštní, nebo vám to nic neříká, koukněte na ta videa, kde o
tom mluvíme. Tohle už umíme, my si ale ta komplexní čísla nemusíme
představit jenom jako body v té rovině, ale uspořádanou dvojici čísel
jako je tady 5 a 2 3 a 7, si můžeme představit i jako vektor s počátkem
v počátku této soustavy souřadnic a koncovým bodem právě v těchto dvou bodech. Takže
tady můžeme mít jeden vektor. Vektor 3 a 7. A tady bude druhý
vektor 5 a 2. A k čemu nám taková věc bude? No,
kdyby nám k ničemu nebyla tak ji neděláme. Takže nám právě poslouží
k tomu grafickému sčítání komplexních čísel. My je totiž
budeme sčítat jako sčítáme vektory. Graficky. To funguje
jednoduše tak, že vezmu ten jeden vektor, který chci sčítat s tím
druhým a ten druhý posunu, jelikož vektor můžu libovolně posouvat v
rovině, posunou ho tak, aby jeho počáteční bod byl v koncovém bodu
toho prvního vektoru. Což povede nějak takto. A ten výsledný vektor,
který je součtem těchto dvou vektorů, bude mít počáteční bod v
počátečním bodu toho prvního vektoru tedy tady. A koncový bod v
koncového bodu toho druhého vektoru. Tak si to pojďme ukázat. Tohleto je
vektor 3 a 7. Takže když půjdu odsud, tak 3, 2 4 6
7 je tady. Takže je to tady. Načrtnu ten z2
vlastně je posunutý, jak už jsme si řekli. Výborně. A už jsem to
řekla, výsledný vektor toho součtu z1
plus z2 má tedy počátek tady a konec tady. Takže bude vypadat takto. Tak to je
vektor, který je součtem těchto dvou vektorů. Jaký je to vektor? Můžeme si to zkontrolovat 8 a 9. Výsledek je tedy 8 a imaginární
část 9, 8 plus 9i. A to je přesně to k čemu jsme došli
tady. Sčítání funguje takto. Odčítání funguje obdobně. Tak a máme hotovo.