If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Komplexní čísla

Kurz: Komplexní čísla > Kapitola 2

Lekce 2: Násobení komplexních čísel
Matematika
Komplexní čísla
Operace s komplexními čísly
Násobení komplexních čísel
© 2023 Khan AcademyPodmínky poskytování služebZásady ochrany osobních údajůZásady používání souborů cookie

Násobení komplexních čísel

Učebna Google
Přečti si o tom, jak vynásobit dvě komplexní čísla. Například jak spočítáme (1+2i)⋅(3+i)?
Komplexním číslem rozumíme číslo, které lze zapsat ve tvaru start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, kde i je imaginární jednotka a start color #1fab54, a, end color #1fab54 a start color #11accd, b, end color #11accd jsou reálná čísla.
Při násobení komplexních čísel je dobré mít na paměti, že aritmetické vlastnosti, které využíváme při počítání s reálnými čísly, fungují podobně i pro komplexní čísla.
Někdy je na číslo i užitečné nahlížet jako na proměnnou. Až na pár závěrečných úprav pak násobení proběhne přesně tak, jak jsme zvyklí. Pojďme se na to blíže podívat v několika následujících příkladech.

Součin reálného a komplexního čísla

Příklad

Spočítej minus, 4, left parenthesis, 13, plus, 5, i, right parenthesis. Výsledek napiš ve tvaru a, plus, b, i.

Řešení

Pokud ti tvůj instinkt říká, že bychom měli závorku roznásobit číslem minus, 4, tak má pravdu. Pojďme to tak udělat!
−4(13+5i)=−4(13)+(−4)(5i)=−52−20i\begin{aligned}\tealD{-4}(13+5i)&=\tealD{-4}(13)+\tealD{(-4)}(5i)\\ \\ &=-52-20i \end{aligned}
A je to! Pomocí distributivity jsme reálné číslo vynásobili komplexním číslem. Teď zkusme něco trochu těžšího.

Součin ryze imaginárního a komplexního čísla

Příklad

Spočítej 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis. Výsledek napiš ve tvaru a, plus, b, i.

Řešení

Podobně jako předtím začneme tím, že číslem 2, i vynásobíme oba členy v závorce.
2i(3−8i)=2i(3)−2i(8i)=6i−16i2\begin{aligned}\tealD{2i}(3-8i)&=\tealD{2i}(3)-\tealD{2i}(8i)\\ \\ &=6i-16i^2 \end{aligned}
V tuhle chvíli ještě odpověď není ve tvaru a, plus, b, i, protože obsahuje i, squared.
Víme ale, že start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10. Zkusme tedy za i, squared dosadit minus, 1 a uvidíme, co nám vyjde.
2i(3−8i)=6i−16i2=6i−16(−1)=6i+16\begin{aligned}\phantom{\tealD{2i}(3-8i)} &=6i-16\goldD{i^2}\\ \\ &=6i-16(\goldD{-1})\\ \\ &=6i+16\\ \end{aligned}
Výsledek můžeme zapsat jako 16, plus, 6, i, protože sčítání je komutativní. Celkem nám tak vyšlo, že 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis, equals, 16, plus, 6, i.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš správně

Příklad 1

Spočítej 3, left parenthesis, minus, 2, plus, 10, i, right parenthesis.
Odpověď napiš ve tvaru a, plus, b, i.

Příklad 2

Spočítej minus, 6, i, left parenthesis, 5, plus, 7, i, right parenthesis.
Odpověď napiš ve tvaru a, plus, b, i.

Výborně! Teď se můžeme posunout ještě o úroveň výš! Následující příklad je typickou úlohou na násobení komplexních čísel.

Součin dvou komplexních čísel

Příklad

Spočítej left parenthesis, 1, plus, 4, i, right parenthesis, left parenthesis, 5, plus, i, right parenthesis. Výsledek napiš ve tvaru a, plus, b, i.

Řešení

Při počítání podobných příkladů některým lidem velmi pomáhá, když se na i dívají jako na proměnnou.
Násobení dvou komplexních čísel je totiž ve skutečnosti velmi podobné násobení dvou dvojčlenů! Každý člen v první závorce musíme vynásobit každým členem ve druhé závorce.
(1+4i)(5+i)=(1)(5)+(1)(i)+(4i)(5)+(4i)(i)=5+i+20i+4i2=5+21i+4i2\begin{aligned}(\tealD{1}+\maroonD{4i}) (5+i)&=(\tealD{1})(5)+(\tealD{1})(i)+(\maroonD{4i})(5)+(\maroonD{4i})(i)\\ \\ &=5+i+20i+4i^2\\ \\ &=5+21i+4i^2 \end{aligned}
Víme, že start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10, takže za i, squared můžeme dosadit minus, 1, díky čemuž už dostaneme výsledek v požadovaném tvaru a, plus, b, i.
(1−5i)(−6+i)=5+21i+4i2=5+21i+4(−1)=5+21i−4=1+21i\begin{aligned}\phantom{(\tealD{1}\maroonD{-5}i) (-6+i)} &=5+21i+4\goldD{i^2}\\ \\ &=5+21i+4(\goldD{-1})\\ \\ &=5+21i-4\\ \\ &=1+21i \end{aligned}

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš správně

Příklad 3

Spočítej left parenthesis, 1, plus, 2, i, right parenthesis, left parenthesis, 3, plus, i, right parenthesis.
Odpověď napiš ve tvaru a, plus, b, i.

Příklad 4

Spočítej left parenthesis, 4, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 7, minus, 3, i, right parenthesis.
Odpověď napiš ve tvaru a, plus, b, i.

Příklad 5

Spočítej left parenthesis, 2, minus, i, right parenthesis, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis.
Odpověď napiš ve tvaru a, plus, b, i.

Příklad 6

Spočítej left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis.
Odpověď napiš ve tvaru a, plus, b, i.

Těžší příklady

Příklad 1

Jsou dána reálná čísla a a b. Čemu se rovná left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis?

Příklad 2

Proveď naznačené operace a výsledek co nejvíc zjednoduš: left parenthesis, 1, plus, 3, i, right parenthesis, squared, dot, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis
Odpověď napiš ve tvaru a, plus, b, i.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení
Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.