If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Násobení komplexních čísel

Přečti si o tom, jak vynásobit dvě komplexní čísla. Například jak spočítáme (1+2i)⋅(3+i)?
Komplexním číslem rozumíme číslo, které lze zapsat ve tvaru a+bi, kde i je imaginární jednotka a a a b jsou reálná čísla.
Při násobení komplexních čísel je dobré mít na paměti, že aritmetické vlastnosti, které využíváme při počítání s reálnými čísly, fungují podobně i pro komplexní čísla.
Někdy je na číslo i užitečné nahlížet jako na proměnnou. Až na pár závěrečných úprav pak násobení proběhne přesně tak, jak jsme zvyklí. Pojďme se na to blíže podívat v několika následujících příkladech.

Součin reálného a komplexního čísla

Příklad

Spočítej 4(13+5i). Výsledek napiš ve tvaru a+bi.

Řešení

Pokud ti tvůj instinkt říká, že bychom měli závorku roznásobit číslem 4, tak má pravdu. Pojďme to tak udělat!
4(13+5i)=4(13)+(4)(5i)=5220i
A je to! Pomocí distributivity jsme reálné číslo vynásobili komplexním číslem. Teď zkusme něco trochu těžšího.

Součin ryze imaginárního a komplexního čísla

Příklad

Spočítej 2i(38i). Výsledek napiš ve tvaru a+bi.

Řešení

Podobně jako předtím začneme tím, že číslem 2i vynásobíme oba členy v závorce.
2i(38i)=2i(3)2i(8i)=6i16i2
V tuhle chvíli ještě odpověď není ve tvaru a+bi, protože obsahuje i2.
Víme ale, že i2=1. Zkusme tedy za i2 dosadit 1 a uvidíme, co nám vyjde.
2i(38i)=6i16i2=6i16(1)=6i+16
Výsledek můžeme zapsat jako 16+6i, protože sčítání je komutativní. Celkem nám tak vyšlo, že 2i(38i)=16+6i.

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš správně

Příklad 1

Spočítej 3(2+10i).
Odpověď napiš ve tvaru a+bi.

Příklad 2

Spočítej 6i(5+7i).
Odpověď napiš ve tvaru a+bi.

Výborně! Teď se můžeme posunout ještě o úroveň výš! Následující příklad je typickou úlohou na násobení komplexních čísel.

Součin dvou komplexních čísel

Příklad

Spočítej (1+4i)(5+i). Výsledek napiš ve tvaru a+bi.

Řešení

Při počítání podobných příkladů některým lidem velmi pomáhá, když se na i dívají jako na proměnnou.
Násobení dvou komplexních čísel je totiž ve skutečnosti velmi podobné násobení dvou dvojčlenů! Každý člen v první závorce musíme vynásobit každým členem ve druhé závorce.
(1+4i)(5+i)=(1)(5)+(1)(i)+(4i)(5)+(4i)(i)=5+i+20i+4i2=5+21i+4i2
Víme, že i2=1, takže za i2 můžeme dosadit 1, díky čemuž už dostaneme výsledek v požadovaném tvaru a+bi.
(15i)(6+i)=5+21i+4i2=5+21i+4(1)=5+21i4=1+21i

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš správně

Příklad 3

Spočítej (1+2i)(3+i).
Odpověď napiš ve tvaru a+bi.

Příklad 4

Spočítej (4+i)(73i).
Odpověď napiš ve tvaru a+bi.

Příklad 5

Spočítej (2i)(2+i).
Odpověď napiš ve tvaru a+bi.

Příklad 6

Spočítej (1+i)(1+i).
Odpověď napiš ve tvaru a+bi.

Těžší příklady

Příklad 1

Jsou dána reálná čísla a a b. Čemu se rovná (abi)(a+bi)?

Příklad 2

Proveď naznačené operace a výsledek co nejvíc zjednoduš: (1+3i)2(2+i)
Odpověď napiš ve tvaru a+bi.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.