Mocniny komplexních čísel

Máme tady komplexní číslo (cos (2/3 π) + i sin (2/3 π)) plus tady máme napsáno, že bychom to rádi umocnili na 20. Takže by bylo hezké si ho tady zaznačit do komplexní roviny, potom ho umocnit na 20 a potom si ho tam znovu zaznačit. Toto video si teď zastavte a zkuste na to přijít sami. A my teď budeme pokračovat společně. Vidíme tady, že úhel je 2/3 π radiánů a vzdálenost, kterou k tomu potřebujeme nebo také absolutní hodnota našeho komplexního čísla je 1, poněvadž tady nemáme napsáno nic, tak si to můžeme představit jako 1 krát toto celé v závorce. To už nám na zaznačení komplexního čísla stačí. Podíváme se, jak to tady máme. Máme tady vždy každý kvadrant neboli π/2 rozděleno na 1, 2, 3, 4, 5, 6 dílků, celé π je rozděleno na 12 dílků. Takže každý dílek je 1/12 π. Máme tady úhel 2/3 π, což je... krát 4 ... 8/12 π. Takže 8/12 π: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a vzdálenost je 1. Takže naše komplexní číslo se nachází tady. To bychom měli, to byla ta jednodušší část. A teď bychom to rádi umocnili na tu dvacátou. Kdybychom to nechali takhle, tak to asi jednoduše na 20 neumocníme. Ale vy byste si možná už mohli pamatovat něco, čemu říkáme Eulerův vzorec: e na iφ = cos φ + i sin φ A když se podíváme na naše komplexní číslo nahoře, vidíme, že ho máme přesně v tomto tvaru. Kosinus nějakého úhlu φ, konkrétně 2/3 π plus i krát sinus stejného úhlu tedy 2/3 π. Celé toto si teď můžeme přepsat do tohoto tvaru. Pojďme na to. Dostaneme, že toto je rovno e na i krát φ a tedy 2/3 π i. Jenom přehodíme pořadí. A toto celé, co se rovná tomuto, chceme ještě umocnit na dvacátou. Máme (e na 2/3 π i) na dvacátou. A to už je mnohem jednodušší, protože nám stačí použít vlastnosti mocnin. Když umocňujeme mocninu, tak exponenty násobíme. Tady dostaneme e na 20 krát 2/3 π i a tedy e na 40/3 π i. Teď se na to podívejme: 40/3 π i to je setsakra velký úhel. Možná bychom s tím mohli ještě něco udělat. Pojďme si to napsat tady bokem, 40/3 π ... nejbližší násobek 3, který se nám tam vejde je 39, takže to bude 13 a 1/3 π. My víme, že celé toto je 2 π radiánů. Když máme úhel 2 π, tak dojdeme dokola tam, odkud jsme začali. A také víme... tady si napíšu poučku a pak demonstruji, že když máme nějaký úhel φ, tak odpovídá úhlu φ + 2 π krát k, kde k je celé číslo, takže může být i záporné Co nám toto chce říct? Že když vezmu nějaký úhel φ, třeba π a přičtu k němu 2π nebo 4π, tak jednoduše to, co udělám je, že to obejdu celé zase dokola a jsem tam, kde jsem byla. Kdybych tedy měla třeba úhel π, který je tady na této záporné poloose a přičetla bych 2π, tak jsem zase tady. Kdybych přičetla 4π, tak to obkroužím 2 krát. A také můžu třeba 2π odečíst, pokud k je -1, odečtu 2π a jsem zase tam, kde jsem byla. Tento velký úhel bychom mohli trošku upravit. Mohli bychom od něj odečíst co nejvíc 2π, abychom se dostali k nějakému menšímu úhlu. Kolikrát se nám tady vejde 2 krát π? Myslím si, že 6 krát. Takže bychom od tohoto mohli odečíst 12 π. Zkusíme si to tady hned odečíst. 12 π a to se bude rovnat 1 a 1/3 π, neboli 4/3π. Nemám to kam napsat, tak si to nechám v hlavě a rovnou to napíšeme sem. Vidíme tedy, že 40/3 π je to stejné, jako 1 a 1/3 π, neboli 4/3 π. Takže toto se bude rovnat e na 4/3 πi, neboli tento úhel 4/3 π je stejný jako 40/3 π radiánů, samozřejmě. Tak jak jsme si to tady spočítali. Takže toto komplexní číslo umocněné na dvacátou nám dává tento výsledek: e na 4/3 πi. A to už si můžeme hezky zaznačit. 4/3 ... jak už jsme řekli, máme to rozdělené na dvanáctiny, a 4/3 krát 4 je 16/12, takže 1 π ... 12/12 a ještě 1,2,3,4 a samozřejmě vzdálenost, absolutní hodnota se nám nezměnila, ta je stále 1, takže to číslo bude tady. Naše komplexní číslo umocněné na dvacátou leží tady. Teď si pojďme ještě ukázat jednu malou věc. Co kdybychom toto chtěli umocnit ne na dvacátou, ale na dvacátou první? Tady by bylo 21 krát 2/3, tudíž by to bylo 42/3 a bylo by to o 2/3 víc, neboli o 2/3 ... o 8/12 víc. Vzdálenost - absolutní hodnota opět stejná. Takže bychom se jenom posunuli o 2, 4, 6, 8 dvanáctin ... přímo sem. Tady by bylo naše číslo umocněné na dvacátou prvou. Takže kdykoli toto číslo umocníme o jednu více, vždy se nám posune o 8/12 radiánu. Takže toto číslo na prvou, to je úhel 2/3 π, to je tady. Když ho umocníme na druhou, tak to bude 2 krát 2/3 π a budou to 4/3 π tedy o 2/3... o 8/12π více. A to je o 4..., 8... - přesně tady. Takže tady by leželo toto číslo umocněné na druhou. Když ho budu chtít umocnit na třetí, zase přidám 2/3 π, 8/12 a bude to tady. Tady bude toto číslo umocněné na třetí, tady na čtvrtou, na pátou, na šestou... pokaždé se nám to posune o 2/3 π. Hezky je to vidět tady. Takže na prvou, na druhou, na třetí, na čtvrtou, na pátou, na šestou, na sedmou, osmou, devátou, desátou, jedenáctou, dvanáctou, třináctou, 14., 15., 16., 17., 18., 19., dvacátou. Tady přesně se bude nacházet toto komplexní číslo na dvacátou. Takže jsme to počítali správně.