Hlavní obsah
Komplexní čísla
Kurz: Komplexní čísla > Kapitola 2
Lekce 6: Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru- Dělení komplexních čísel: goniometrický a exponenciální tvar
- Grafické znázornění komplexního násobení a dělení
- Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru
- Mocniny komplexních čísel
- Rovnice s komplexními kořeny: x³=1
- Grafické znázornění mocnin komplexních čísel
- Mocniny komplexních čísel
- Goniometrický tvar komplexních čísel - přehled
Dělení komplexních čísel: goniometrický a exponenciální tvar
Ukážeme si, jaký vliv mají absolutní hodnota a argument dělených čísel na absolutní hodnotu a argument výsledného čísla. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Máme tady dvě komplexní čísla: 7 krát cosinus 7pí šestin
plus i krát sinus 7pí šestin, a druhé, cosinus 7pí čtvrtin
plus i krát sinus 7pí čtvrtin. A chtěli bychom to horní
vydělit tím spodním. Dělíme tedy komplexní
číslo komplexním číslem. Teď to v tom goniometrickém
tvaru vypadá poněkud děsivě a určitě to nemůžeme
prostě jen tak vzít a vydělit. Určitě s tím budeme muset něco udělat. Tak se pojďme prvně podívat, kde máme tato naše dvě komplexní
čísla v té naší komplexní rovině, kterou tady máme ještě trošku vylepšenou. První číslo máme tady: cosinus 7pí šestin
plus i sinus 7pí šestin. Máme tady tedy úhel 7pí šestin radiánů. My tady vidíme, že máme
každý kvadrant, tedy pí polovin, rozdělený na 1, 2, 3, 4, 5, 6 částí. Takže tady je 6 a tady je dalších 6. Celé pí je rozděleno na 12 částí, takže
jsou to dvanáctiny pí, tady tyto úseky. 7pí šestin, to je celé 1 pí, tedy
6 šestin a pak ještě 1 šestina pí, což jsou 2 dvanáctiny a tedy až sem. A vzdálenost od počátku je 7.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Takže toto je naše první komplexní číslo. A to druhé… tady si můžeme představit
na začátku 1, ať nás to nemate. Druhé komplexní číslo tady máme
7pí čtvrtin, což je určitě celé 1 pí… To jsou 4 čtvrtiny a ještě nám zbydou 3
čtvrtiny, takže pí polovin jsou 2 čtvrtiny a ještě chceme 1 čtvrtinu a to je půlka
pí poloviny a to je přesně tady. A vzdálenost je 1, jak už jsme řekli,
takže jsme tady správně. Takže to jsou naše 2 komplexní čísla
zobrazena tady v té komplexní rovině. Takže my je chceme tedy
vydělit, to už jsme říkali. A taky jsme říkali, že to takhle
asi úplně jednoduše nepůjde. Zkuste si to zastavit, to video,
a popřemýšlet, co by se s tím dalo dělat. Já mám jeden návrh.
Co si to zapsat trošku jinak? A co třeba zkusit exponenciální tvar? Pokud si pamatujete Eulerův vzorec,
už jsme ho v nějakém videu zmiňovali, víte, že toto celé můžeme jednoduše
zapsat jako e na 7pí šestin i. A že obdobně toto můžeme
zapsat jako e na 7pí čtvrtin i. Je to podle Eulerova vzorce. Takže když si to tady přepíšeme
dolů podle toho, co jsme zjistili, tak dostaneme 7e na 7pí šestin i
lomeno e na 7pí čtvrtin i. Samozřejmě si tam můžeme
dopsat tu 1, pokud nám to pomůže. Toto je komplexní číslo
v exponenciálním tvaru. Teď už by to mělo být jednoduché, poněvadž
tady máme mocniny se stejným základem, a tedy když je dělíme, tak jejich
exponenty jednoduše odečteme. Jak to tedy bude vypadat? 7 lomeno 1 to je 7 a potom budeme mít
e na 7pí i šestin minus 7pí i čtvrtin. A to už je klasické odečítání zlomků, tak
si to kousek posuneme a spočítáme si to. Takže 6 a 4… Nejmenší společný násobek,
abychom měli společného dělitele, je 12. 7pí i šestin je 14pí i dvanáctin minus
7pí i čtvrtin to je 21pí i dvanáctin, takže to se rovná minus 7pí i dvanáctin. Takže tady bude výsledek
7e na minus 7pí dvanáctin i. Tohle je náš výsledek,
kterého jsme chtěli dosáhnout. Vydělili jsme toto komplexní
číslo tímto komplexním číslem a dostali jsme tento výsledek. Pojďme si teď to číslo, zaznačit
tady do komplexní roviny. Takže úhel je minus
7pí dvanáctin radiánů. Máme tady minus, takže nejdeme takto,
proti směru hodinových ručiček, ale půjdeme po směru hodinových ručiček. Říkali jsme, že tyto dílky jsou dvanáctiny
a my chceme tedy minus 7 těchto dvanáctin. Takže 1, 2, 3, 4, 5, 6, logicky,
to je pí polovin, a 7. Tady bude minus 7 dvanáctin a vzdálenost
má být 7, a tedy 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Komplexní číslo, které jsme dostali
vydělením tohoto tímto komplexním číslem, leží přímo tady. Kdybychom to chtěli mít
ještě trošku jasnější, můžeme si toto číslo ještě na závěr
přepsat do goniometrického tvaru. A tedy 7e na minus 7pí dvanáctin i
by bylo rovno 7 cosinus minus 7pí dvanáctin plus
i krát sinus minus 7pí dvanáctin. Toto je tedy náš výsledek
v exponenciálním tvaru, toto je náš výsledek
v goniometrickém tvaru a tady jsme si ho znázornili
do komplexní roviny.