Dělení komplexních čísel: goniometrický a exponenciální tvar

Máme tady dvě komplexní čísla: 7 krát cosinus 7pí šestin plus i krát sinus 7pí šestin, a druhé, cosinus 7pí čtvrtin plus i krát sinus 7pí čtvrtin. A chtěli bychom to horní vydělit tím spodním. Dělíme tedy komplexní číslo komplexním číslem. Teď to v tom goniometrickém tvaru vypadá poněkud děsivě a určitě to nemůžeme prostě jen tak vzít a vydělit. Určitě s tím budeme muset něco udělat. Tak se pojďme prvně podívat, kde máme tato naše dvě komplexní čísla v té naší komplexní rovině, kterou tady máme ještě trošku vylepšenou. První číslo máme tady: cosinus 7pí šestin plus i sinus 7pí šestin. Máme tady tedy úhel 7pí šestin radiánů. My tady vidíme, že máme každý kvadrant, tedy pí polovin, rozdělený na 1, 2, 3, 4, 5, 6 částí. Takže tady je 6 a tady je dalších 6. Celé pí je rozděleno na 12 částí, takže jsou to dvanáctiny pí, tady tyto úseky. 7pí šestin, to je celé 1 pí, tedy 6 šestin a pak ještě 1 šestina pí, což jsou 2 dvanáctiny a tedy až sem. A vzdálenost od počátku je 7. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Takže toto je naše první komplexní číslo. A to druhé… tady si můžeme představit na začátku 1, ať nás to nemate. Druhé komplexní číslo tady máme 7pí čtvrtin, což je určitě celé 1 pí… To jsou 4 čtvrtiny a ještě nám zbydou 3 čtvrtiny, takže pí polovin jsou 2 čtvrtiny a ještě chceme 1 čtvrtinu a to je půlka pí poloviny a to je přesně tady. A vzdálenost je 1, jak už jsme řekli, takže jsme tady správně. Takže to jsou naše 2 komplexní čísla zobrazena tady v té komplexní rovině. Takže my je chceme tedy vydělit, to už jsme říkali. A taky jsme říkali, že to takhle asi úplně jednoduše nepůjde. Zkuste si to zastavit, to video, a popřemýšlet, co by se s tím dalo dělat. Já mám jeden návrh. Co si to zapsat trošku jinak? A co třeba zkusit exponenciální tvar? Pokud si pamatujete Eulerův vzorec, už jsme ho v nějakém videu zmiňovali, víte, že toto celé můžeme jednoduše zapsat jako e na 7pí šestin i. A že obdobně toto můžeme zapsat jako e na 7pí čtvrtin i. Je to podle Eulerova vzorce. Takže když si to tady přepíšeme dolů podle toho, co jsme zjistili, tak dostaneme 7e na 7pí šestin i lomeno e na 7pí čtvrtin i. Samozřejmě si tam můžeme dopsat tu 1, pokud nám to pomůže. Toto je komplexní číslo v exponenciálním tvaru. Teď už by to mělo být jednoduché, poněvadž tady máme mocniny se stejným základem, a tedy když je dělíme, tak jejich exponenty jednoduše odečteme. Jak to tedy bude vypadat? 7 lomeno 1 to je 7 a potom budeme mít e na 7pí i šestin minus 7pí i čtvrtin. A to už je klasické odečítání zlomků, tak si to kousek posuneme a spočítáme si to. Takže 6 a 4… Nejmenší společný násobek, abychom měli společného dělitele, je 12. 7pí i šestin je 14pí i dvanáctin minus 7pí i čtvrtin to je 21pí i dvanáctin, takže to se rovná minus 7pí i dvanáctin. Takže tady bude výsledek 7e na minus 7pí dvanáctin i. Tohle je náš výsledek, kterého jsme chtěli dosáhnout. Vydělili jsme toto komplexní číslo tímto komplexním číslem a dostali jsme tento výsledek. Pojďme si teď to číslo, zaznačit tady do komplexní roviny. Takže úhel je minus 7pí dvanáctin radiánů. Máme tady minus, takže nejdeme takto, proti směru hodinových ručiček, ale půjdeme po směru hodinových ručiček. Říkali jsme, že tyto dílky jsou dvanáctiny a my chceme tedy minus 7 těchto dvanáctin. Takže 1, 2, 3, 4, 5, 6, logicky, to je pí polovin, a 7. Tady bude minus 7 dvanáctin a vzdálenost má být 7, a tedy 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Komplexní číslo, které jsme dostali vydělením tohoto tímto komplexním číslem, leží přímo tady. Kdybychom to chtěli mít ještě trošku jasnější, můžeme si toto číslo ještě na závěr přepsat do goniometrického tvaru. A tedy 7e na minus 7pí dvanáctin i by bylo rovno 7 cosinus minus 7pí dvanáctin plus i krát sinus minus 7pí dvanáctin. Toto je tedy náš výsledek v exponenciálním tvaru, toto je náš výsledek v goniometrickém tvaru a tady jsme si ho znázornili do komplexní roviny.