Grafické znázornění mocnin komplexních čísel

Naše studium komplexních čísel jsme začali tak, že jsme si zadefinovali nové číslo $i$‍ splňující $i^2=-1$‍, které jsme následně graficky znázornili mimo reálnou číselnou osu, a to jednu jednotku nad číslem $0$‍. Pomocí grafických znázornění z minulého článku nyní lépe pochopíme, proč je zrovna tohle místo v komplexní rovině přirozeným domovem pro číslo, jehož druhou mocninou je $-1$‍.

Vynásobení číslem $i$‍ znamená otočení okolo počátku proti směru hodinových ručiček o ${90}^{\circ }$‍:

Důvodem je například to, že $i$‍ má absolutní hodnotu $1$‍ a argument ${90}^{\circ }$‍, nebo to, že jde o jediné možné otočení komplexní roviny, které nehýbe s počátkem a kterým se $1$‍ přesune na místo, kde původně bylo číslo $i$‍.

Co se stane, když každý bod komplexní roviny vynásobíme číslem $i$‍ dvakrát?

Je to totéž jako otočení o ${180}^{\circ }$‍ okolo počátku, čemuž odpovídá vynásobení číslem $-1$‍. To dává smysl, protože dvakrát vynásobit číslem $i$‍ je totéž jako vynásobit číslem $i^2$‍, což se rovná $-1$‍.

Je zajímavé se zamyslet nad tím, že kdybychom číslo $i$‍ umístili jinam a zachovali jeho vlastnost $i^2=-1$‍, tak už bychom komplexní násobení nemohli tak jednoduše graficky znázornit.

Zkusme si ještě chvilku pohrát s opakovaným násobením nějakým komplexním číslem.

Jako první příklad si vezměme číslo $z=1+i\sqrt{3}$‍, jehož absolutní hodnota je $\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$‍ a argument je ${60}^{\circ }$‍. Co se stane, když číslem $z$‍ každý bod komplexní roviny vynásobíme třikrát za sebou?

Vzdálenost každého bodu od počátku se třikrát vynásobí číslem $2$‍, takže nakonec bude $2^3=8$‍krát větší než na začátku. Dále se každý bod třikrát po sobě otočí okolo počátku proti směru hodinových ručiček o ${60}^{\circ }$‍, čemuž celkem odpovídá otočení okolo počátku o ${180}^{\circ }$‍. To samé se stane, když vynásobíme číslem $-8$‍, takže $(1+i\sqrt{3}{)}^3=-8$‍.

K témuž závěru můžeme dojít i algebraicky:

Řekněme, že každý bod komplexní roviny osmkrát za sebou vynásobíme číslem $(1+i)$‍.

Protože absolutní hodnota čísla $1+i$‍ je

$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$‍,

vzdálenost každého bodu od počátku se osmkrát vynásobí číslem $\sqrt{2}$‍, takže v konečném důsledku bude $(\sqrt{2}{)}^8=2^4=16$‍krát větší než na začátku.

Argument čísla $(1+i)$‍ je ${45}^{\circ }$‍, takže každý bod celkem otočíme o $8\cdot {45}^{\circ }={360}^{\circ }$‍ okolo počátku, což je totéž, jako kdybychom žádné otočení neprovedli. Z toho plyne, že $(1+i{)}^8=16$‍.

Totéž dostaneme také algebraicky:

Nyní si položme opačnou otázku. Existuje nějaké číslo $z$‍ takové, že když každý bod v komplexní rovině pětkrát za sebou vynásobíme tímto číslem, všechno bude stejně jako na začátku? Jinak řečeno, dokážeme vyřešit rovnici $z^5=1$‍? Jedním řešením je samozřejmě $z=1$‍, ale zkusme najít i nějaká další.

Nejprve si uvědomme, že absolutní hodnota hledaného čísla musí být $1$‍, protože kdyby byla větší než $1$‍, tak by se body od počátku s každým vynásobením vzdalovaly, zatímco kdyby byla menší než $1$‍, tak by se všechny body k počátku stále více přibližovaly. S otočením už je to složitější, poněvadž je možné se opakovaným otáčením dostat do původního stavu, a to dokonce vícero způsoby. Když budeme otáčet o ${\displaystyle \frac{1}{5}}$‍ celé otáčky, což vypadá takto

tak po $5$‍ otočeních budeme ve stejném stavu jako na začátku, kdy jsme ještě žádné otočení neprovedli.

Tomuto otáčení odpovídá násobení číslem $\cos ({72}^{\circ })+i\sin ({72}^{\circ })$‍, protože ${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{5}}={72}^{\circ }$‍.

Existují ale i další možnosti, například otáčení vždy o ${\displaystyle \frac{2}{5}}$‍ celé otáčky.

Rovněž můžeme otáčet sice o ${\displaystyle \frac{1}{5}}$‍ celé otáčky, ale opačným směrem.

Ve skutečnosti tvoří všechna řešení rovnice $z^5=1$‍ vrcholy pravidelného pětiúhelníku. Tyto vrcholy navíc leží na jednotkové kružnici:

Vyřešit rovnici $z^6=-27$‍ znamená najít komplexní číslo $z$‍ takové, že když jím $6$‍krát za sebou vynásobíme, tak se vzdálenost každého bodu od počátku vynásobí $27$‍ a každý bod se okolo počátku otočí o ${180}^{\circ }$‍ (znaménko minus u čísla $27$‍ nám říká, že musíme otočit o ${180}^{\circ }$‍).

Když $6$‍krát za sebou vynásobíme nějakým číslem a vzdálenost každého bodu od počátku se důsledkem toho zvětší na $27$‍násobek, tak toto číslo musí mít absolutní hodnotu $\sqrt[6]{27}=\sqrt{3}$‍. Jednou možností, jak po $6$‍ stejných otočeních dostat celkové otočení o ${180}^{\circ }$‍, je otáčet o ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{6}}={30}^{\circ }$‍. Jedno řešení rovnice $z^6=-27$‍ je tedy:

Existují ale i další řešení! Všechna řešení pak tvoří vrcholy pravidelného šestiúhelníku. Tyto vrcholy navíc leží na kružnici se středem v počátku a poloměrem $\sqrt{3}$‍:

Vidíš proč?

Zkusme poslední dva příklady zobecnit. Jsou-li zadána čísla $w$‍ a $n$‍ a naším úkolem je spočítat $z$‍ (v minulém příkladu bylo $n=6$‍ a $w=-27$‍), tak jako první přepíšeme $w$‍ do goniometrického tvaru:

Z toho plyne, že hledané číslo $z$‍ musí mít argument ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍ a absolutní hodnotu $\sqrt[n]{r}$‍, protože když takovým číslem $n$‍-krát za sebou vynásobíme, tak dojde k celkovému otočení každého bodu okolo počátku proti směru hodinových ručiček o úhel $\theta$‍ a vzdálenost každého bodu od počátku se vynásobí číslem $r$‍, což je přesně totéž, jako kdybychom vynásobili číslem $w$‍. Tudíž:

Při hledání ostatních řešení se na úhel $\theta$‍ můžeme dívat například jako na $\theta +2\pi$‍ nebo $\theta +4\pi$‍, obecně $\theta +2k\pi$‍ pro libovolné celé číslo $k$‍, protože jde v zásadě o tentýž úhel. Toto je důležitý krok, protože když budeme ještě před vydělením číslem $n$‍ místo $\theta$‍ uvažovat $\theta +2\pi k$‍, tak se hodnota výrazu ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍ může změnit. Všechna řešení tak budou mít tento tvar:

kde $k$‍ je celé číslo. Pro $k$‍ od $0$‍ do $n-1$‍ vyjdou navzájem různá řešení, ale jakmile se dostaneme ke $k=n$‍, tak bude ${\displaystyle \frac{\theta +2n\pi }{n}}={\displaystyle \frac{\theta }{n}}+2\pi$‍, což je totéž, jako kdybychom počítali s ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍, protože tyto úhly se liší jen o jednu celou otáčku. K určení všech řešení tak stačí uvažovat pouze $k$‍ od $0$‍ do $n-1$‍.