Hlavní obsah
Komplexní čísla
Kurz: Komplexní čísla > Kapitola 2
Lekce 6: Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru- Dělení komplexních čísel: goniometrický a exponenciální tvar
- Grafické znázornění komplexního násobení a dělení
- Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru
- Mocniny komplexních čísel
- Rovnice s komplexními kořeny: x³=1
- Grafické znázornění mocnin komplexních čísel
- Mocniny komplexních čísel
- Goniometrický tvar komplexních čísel - přehled
Grafické znázornění mocnin komplexních čísel
Přečti si o tom, jak vypadají mocniny komplexního čísla v komplexní rovině a jaký dopad má na komplexní rovinu opakované násobení nějakým komplexním číslem.
Souvislost mezi vztahem a polohou v komplexní rovině
Naše studium komplexních čísel jsme začali tak, že jsme si zadefinovali nové číslo splňující , které jsme následně graficky znázornili mimo reálnou číselnou osu, a to jednu jednotku nad číslem . Pomocí grafických znázornění z minulého článku nyní lépe pochopíme, proč je zrovna tohle místo v komplexní rovině přirozeným domovem pro číslo, jehož druhou mocninou je .
Vynásobení číslem znamená otočení okolo počátku proti směru hodinových ručiček o :
Důvodem je například to, že má absolutní hodnotu a argument , nebo to, že jde o jediné možné otočení komplexní roviny, které nehýbe s počátkem a kterým se přesune na místo, kde původně bylo číslo .
Co se stane, když každý bod komplexní roviny vynásobíme číslem dvakrát?
Je to totéž jako otočení o okolo počátku, čemuž odpovídá vynásobení číslem . To dává smysl, protože dvakrát vynásobit číslem je totéž jako vynásobit číslem , což se rovná .
Je zajímavé se zamyslet nad tím, že kdybychom číslo umístili jinam a zachovali jeho vlastnost , tak už bychom komplexní násobení nemohli tak jednoduše graficky znázornit.
Mocniny komplexních čísel
Zkusme si ještě chvilku pohrát s opakovaným násobením nějakým komplexním číslem.
Příklad 1:
Jako první příklad si vezměme číslo , jehož absolutní hodnota je a argument je . Co se stane, když číslem každý bod komplexní roviny vynásobíme třikrát za sebou?
Vzdálenost každého bodu od počátku se třikrát vynásobí číslem , takže nakonec bude krát větší než na začátku. Dále se každý bod třikrát po sobě otočí okolo počátku proti směru hodinových ručiček o , čemuž celkem odpovídá otočení okolo počátku o . To samé se stane, když vynásobíme číslem , takže .
K témuž závěru můžeme dojít i algebraicky:
Příklad 2:
Řekněme, že každý bod komplexní roviny osmkrát za sebou vynásobíme číslem .
Protože absolutní hodnota čísla je
vzdálenost každého bodu od počátku se osmkrát vynásobí číslem , takže v konečném důsledku bude krát větší než na začátku.
Argument čísla je , takže každý bod celkem otočíme o okolo počátku, což je totéž, jako kdybychom žádné otočení neprovedli. Z toho plyne, že .
Totéž dostaneme také algebraicky:
Příklad 3:
Nyní si položme opačnou otázku. Existuje nějaké číslo takové, že když každý bod v komplexní rovině pětkrát za sebou vynásobíme tímto číslem, všechno bude stejně jako na začátku? Jinak řečeno, dokážeme vyřešit rovnici ? Jedním řešením je samozřejmě , ale zkusme najít i nějaká další.
Nejprve si uvědomme, že absolutní hodnota hledaného čísla musí být , protože kdyby byla větší než , tak by se body od počátku s každým vynásobením vzdalovaly, zatímco kdyby byla menší než , tak by se všechny body k počátku stále více přibližovaly. S otočením už je to složitější, poněvadž je možné se opakovaným otáčením dostat do původního stavu, a to dokonce vícero způsoby. Když budeme otáčet o celé otáčky, což vypadá takto
tak po otočeních budeme ve stejném stavu jako na začátku, kdy jsme ještě žádné otočení neprovedli.
Tomuto otáčení odpovídá násobení číslem , protože .
Existují ale i další možnosti, například otáčení vždy o celé otáčky.
Rovněž můžeme otáčet sice o celé otáčky, ale opačným směrem.
Ve skutečnosti tvoří všechna řešení rovnice vrcholy pravidelného pětiúhelníku. Tyto vrcholy navíc leží na jednotkové kružnici:
Příklad 4:
Vyřešit rovnici znamená najít komplexní číslo takové, že když jím krát za sebou vynásobíme, tak se vzdálenost každého bodu od počátku vynásobí a každý bod se okolo počátku otočí o (znaménko minus u čísla nám říká, že musíme otočit o ).
Když krát za sebou vynásobíme nějakým číslem a vzdálenost každého bodu od počátku se důsledkem toho zvětší na násobek, tak toto číslo musí mít absolutní hodnotu . Jednou možností, jak po stejných otočeních dostat celkové otočení o , je otáčet o . Jedno řešení rovnice je tedy:
Existují ale i další řešení! Všechna řešení pak tvoří vrcholy pravidelného šestiúhelníku. Tyto vrcholy navíc leží na kružnici se středem v počátku a poloměrem :
Vidíš proč?
Obecné řešení rovnice
Zkusme poslední dva příklady zobecnit. Jsou-li zadána čísla a a naším úkolem je spočítat (v minulém příkladu bylo a ), tak jako první přepíšeme do goniometrického tvaru:
Z toho plyne, že hledané číslo musí mít argument a absolutní hodnotu , protože když takovým číslem -krát za sebou vynásobíme, tak dojde k celkovému otočení každého bodu okolo počátku proti směru hodinových ručiček o úhel a vzdálenost každého bodu od počátku se vynásobí číslem , což je přesně totéž, jako kdybychom vynásobili číslem . Tudíž:
Při hledání ostatních řešení se na úhel můžeme dívat například jako na nebo , obecně pro libovolné celé číslo , protože jde v zásadě o tentýž úhel. Toto je důležitý krok, protože když budeme ještě před vydělením číslem místo uvažovat , tak se hodnota výrazu může změnit. Všechna řešení tak budou mít tento tvar:
kde je celé číslo. Pro od do vyjdou navzájem různá řešení, ale jakmile se dostaneme ke , tak bude , což je totéž, jako kdybychom počítali s , protože tyto úhly se liší jen o jednu celou otáčku. K určení všech řešení tak stačí uvažovat pouze od do .
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.