If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Grafické znázornění mocnin komplexních čísel

Přečti si o tom, jak vypadají mocniny komplexního čísla v komplexní rovině a jaký dopad má na komplexní rovinu opakované násobení nějakým komplexním číslem.

Souvislost mezi vztahem i2=1 a polohou i v komplexní rovině

Naše studium komplexních čísel jsme začali tak, že jsme si zadefinovali nové číslo i splňující i2=1, které jsme následně graficky znázornili mimo reálnou číselnou osu, a to jednu jednotku nad číslem 0. Pomocí grafických znázornění z minulého článku nyní lépe pochopíme, proč je zrovna tohle místo v komplexní rovině přirozeným domovem pro číslo, jehož druhou mocninou je 1.
Vynásobení číslem i znamená otočení okolo počátku proti směru hodinových ručiček o 90:
Khan Academy video
Důvodem je například to, že i má absolutní hodnotu 1 a argument 90, nebo to, že jde o jediné možné otočení komplexní roviny, které nehýbe s počátkem a kterým se 1 přesune na místo, kde původně bylo číslo i.
Co se stane, když každý bod komplexní roviny vynásobíme číslem i dvakrát?
Khan Academy video
Je to totéž jako otočení o 180 okolo počátku, čemuž odpovídá vynásobení číslem 1. To dává smysl, protože dvakrát vynásobit číslem i je totéž jako vynásobit číslem i2, což se rovná 1.
Je zajímavé se zamyslet nad tím, že kdybychom číslo i umístili jinam a zachovali jeho vlastnost i2=1, tak už bychom komplexní násobení nemohli tak jednoduše graficky znázornit.

Mocniny komplexních čísel

Zkusme si ještě chvilku pohrát s opakovaným násobením nějakým komplexním číslem.

Příklad 1: (1+i3)3

Jako první příklad si vezměme číslo z=1+i3, jehož absolutní hodnota je 12+(3)2=2 a argument je 60. Co se stane, když číslem z každý bod komplexní roviny vynásobíme třikrát za sebou?
Khan Academy video
Vzdálenost každého bodu od počátku se třikrát vynásobí číslem 2, takže nakonec bude 23=8krát větší než na začátku. Dále se každý bod třikrát po sobě otočí okolo počátku proti směru hodinových ručiček o 60, čemuž celkem odpovídá otočení okolo počátku o 180. To samé se stane, když vynásobíme číslem 8, takže (1+i3)3=8.
K témuž závěru můžeme dojít i algebraicky:
=(2(cos(60)+isin(60)))3=23(cos(60+60+60)+isin(60+60+60) =8(cos(180)+isin(180))=8

Příklad 2: (1+i)8

Řekněme, že každý bod komplexní roviny osmkrát za sebou vynásobíme číslem (1+i).
Khan Academy video
Protože absolutní hodnota čísla 1+i je
|1+i|=12+12=2,
vzdálenost každého bodu od počátku se osmkrát vynásobí číslem 2, takže v konečném důsledku bude (2)8=24=16krát větší než na začátku.
Argument čísla (1+i) je 45, takže každý bod celkem otočíme o 845=360 okolo počátku, což je totéž, jako kdybychom žádné otočení neprovedli. Z toho plyne, že (1+i)8=16.
Totéž dostaneme také algebraicky:
=(1+i)8=(2(cos(45)+isin(45))8=(2)8(cos(45++458krát)+isin(45++458krát))=16(cos(360)+isin(360))=16

Příklad 3: z5=1

Nyní si položme opačnou otázku. Existuje nějaké číslo z takové, že když každý bod v komplexní rovině pětkrát za sebou vynásobíme tímto číslem, všechno bude stejně jako na začátku? Jinak řečeno, dokážeme vyřešit rovnici z5=1? Jedním řešením je samozřejmě z=1, ale zkusme najít i nějaká další.
Nejprve si uvědomme, že absolutní hodnota hledaného čísla musí být 1, protože kdyby byla větší než 1, tak by se body od počátku s každým vynásobením vzdalovaly, zatímco kdyby byla menší než 1, tak by se všechny body k počátku stále více přibližovaly. S otočením už je to složitější, poněvadž je možné se opakovaným otáčením dostat do původního stavu, a to dokonce vícero způsoby. Když budeme otáčet o 15 celé otáčky, což vypadá takto
Khan Academy video
tak po 5 otočeních budeme ve stejném stavu jako na začátku, kdy jsme ještě žádné otočení neprovedli.
Khan Academy video
Tomuto otáčení odpovídá násobení číslem cos(72)+isin(72), protože 3605=72.
Existují ale i další možnosti, například otáčení vždy o 25 celé otáčky.
Khan Academy video
Rovněž můžeme otáčet sice o 15 celé otáčky, ale opačným směrem.
Khan Academy video
Ve skutečnosti tvoří všechna řešení rovnice z5=1 vrcholy pravidelného pětiúhelníku. Tyto vrcholy navíc leží na jednotkové kružnici:

Příklad 4: z6=27

Vyřešit rovnici z6=27 znamená najít komplexní číslo z takové, že když jím 6krát za sebou vynásobíme, tak se vzdálenost každého bodu od počátku vynásobí 27 a každý bod se okolo počátku otočí o 180 (znaménko minus u čísla 27 nám říká, že musíme otočit o 180).
Když 6krát za sebou vynásobíme nějakým číslem a vzdálenost každého bodu od počátku se důsledkem toho zvětší na 27násobek, tak toto číslo musí mít absolutní hodnotu A276=3. Jednou možností, jak po 6 stejných otočeních dostat celkové otočení o 180, je otáčet o 1806=30. Jedno řešení rovnice z6=27 je tedy:
3(cos(30)+isin(30))=3(32+i12)=32+i32
Existují ale i další řešení! Všechna řešení pak tvoří vrcholy pravidelného šestiúhelníku. Tyto vrcholy navíc leží na kružnici se středem v počátku a poloměrem 3:
Vidíš proč?

Obecné řešení rovnice zn=w

Zkusme poslední dva příklady zobecnit. Jsou-li zadána čísla w a n a naším úkolem je spočítat z (v minulém příkladu bylo n=6 a w=27), tak jako první přepíšeme w do goniometrického tvaru:
w=r(cos(θ)+isin(θ))
Z toho plyne, že hledané číslo z musí mít argument θn a absolutní hodnotu Arn, protože když takovým číslem n-krát za sebou vynásobíme, tak dojde k celkovému otočení každého bodu okolo počátku proti směru hodinových ručiček o úhel θ a vzdálenost každého bodu od počátku se vynásobí číslem r, což je přesně totéž, jako kdybychom vynásobili číslem w. Tudíž:
z=Arn(cos(θn)+isin(θn))
Při hledání ostatních řešení se na úhel θ můžeme dívat například jako na θ+2π nebo θ+4π, obecně θ+2kπ pro libovolné celé číslo k, protože jde v zásadě o tentýž úhel. Toto je důležitý krok, protože když budeme ještě před vydělením číslem n místo θ uvažovat θ+2πk, tak se hodnota výrazu θn může změnit. Všechna řešení tak budou mít tento tvar:
z=Arn(cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn))
kde k je celé číslo. Pro k od 0 do n1 vyjdou navzájem různá řešení, ale jakmile se dostaneme ke k=n, tak bude θ+2nπn=θn+2π, což je totéž, jako kdybychom počítali s θn, protože tyto úhly se liší jen o jednu celou otáčku. K určení všech řešení tak stačí uvažovat pouze k od 0 do n1.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.