Hlavní obsah

Komplexní čísla

Kurz: Komplexní čísla > Kapitola 2

Lekce 6: Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru

Grafické znázornění mocnin komplexních čísel

Přečti si o tom, jak vypadají mocniny komplexního čísla v komplexní rovině a jaký dopad má na komplexní rovinu opakované násobení nějakým komplexním číslem.

Souvislost mezi vztahem i, squared, equals, minus, 1 a polohou i v komplexní rovině

Naše studium komplexních čísel jsme začali tak, že jsme si zadefinovali nové číslo i splňující i, squared, equals, minus, 1, které jsme následně graficky znázornili mimo reálnou číselnou osu, a to jednu jednotku nad číslem 0. Pomocí grafických znázornění z minulého článku nyní lépe pochopíme, proč je zrovna tohle místo v komplexní rovině přirozeným domovem pro číslo, jehož druhou mocninou je minus, 1.

Vynásobení číslem i znamená otočení okolo počátku proti směru hodinových ručiček o 90, degrees:

Khan Academy video

Zobrazit přepis videa

Důvodem je například to, že i má absolutní hodnotu 1 a argument 90, degrees, nebo to, že jde o jediné možné otočení komplexní roviny, které nehýbe s počátkem a kterým se 1 přesune na místo, kde původně bylo číslo i.

Co se stane, když každý bod komplexní roviny vynásobíme číslem i dvakrát?

Khan Academy video

Zobrazit přepis videa

Je to totéž jako otočení o 180, degrees okolo počátku, čemuž odpovídá vynásobení číslem minus, 1. To dává smysl, protože dvakrát vynásobit číslem i je totéž jako vynásobit číslem i, squared, což se rovná minus, 1.

Je zajímavé se zamyslet nad tím, že kdybychom číslo i umístili jinam a zachovali jeho vlastnost i, squared, equals, minus, 1, tak už bychom komplexní násobení nemohli tak jednoduše graficky znázornit.

Mocniny komplexních čísel

Zkusme si ještě chvilku pohrát s opakovaným násobením nějakým komplexním číslem.

Příklad 1: left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed

Jako první příklad si vezměme číslo z, equals, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, jehož absolutní hodnota je square root of, 1, squared, plus, left parenthesis, square root of, 3, end square root, right parenthesis, squared, end square root, equals, 2 a argument je 60, degrees. Co se stane, když číslem z každý bod komplexní roviny vynásobíme třikrát za sebou?

Khan Academy video

Zobrazit přepis videa

Vzdálenost každého bodu od počátku se třikrát vynásobí číslem 2, takže nakonec bude 2, cubed, equals, 8krát větší než na začátku. Dále se každý bod třikrát po sobě otočí okolo počátku proti směru hodinových ručiček o 60, degrees, čemuž celkem odpovídá otočení okolo počátku o 180, degrees. To samé se stane, když vynásobíme číslem minus, 8, takže left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed, equals, minus, 8.

K témuž závěru můžeme dojít i algebraicky:

$\begin{aligned} &\phantom{=}\left(2(\cos(60^\circ) + i\sin(60^\circ)) \right)^3\\\\ &= 2^3 ( \cos(60^\circ + 60^\circ + 60^\circ) + i\sin(60^\circ + 60^\circ + 60^\circ) \\\\\ &= 8(\cos(180^\circ) + i\sin(180^\circ)) \\\\ &= -8 \end{aligned}$

Příklad 2: left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript

Řekněme, že každý bod komplexní roviny osmkrát za sebou vynásobíme číslem left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis.

Khan Academy video

Zobrazit přepis videa

Protože absolutní hodnota čísla 1, plus, i je

vertical bar, 1, plus, i, vertical bar, equals, square root of, 1, squared, plus, 1, squared, end square root, equals, square root of, 2, end square root,

vzdálenost každého bodu od počátku se osmkrát vynásobí číslem square root of, 2, end square root, takže v konečném důsledku bude left parenthesis, square root of, 2, end square root, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript, equals, 2, start superscript, 4, end superscript, equals, 16krát větší než na začátku.

Argument čísla left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis je 45, degrees, takže každý bod celkem otočíme o 8, dot, 45, degrees, equals, 360, degrees okolo počátku, což je totéž, jako kdybychom žádné otočení neprovedli. Z toho plyne, že left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript, equals, 16.

Totéž dostaneme také algebraicky:

\begin{aligned} &\phantom{=}(1 + i)^8 \\\\ &= \left(\sqrt{2}\cdot(\cos(45^\circ) + i \sin(45^\circ) \right)^8 \\ &= (\sqrt{2})^8 \cdot \left( \cos(\underbrace{45^\circ + \cdots + 45^\circ}_{\text{$8$krát}}) + i\sin(\underbrace{45^\circ + \cdots + 45^\circ}_{\text{$8$krát}}) \right) \\\\ &= 16 \left(\cos(360^\circ) + i\sin(360^\circ) \right) \\\\ &= 16 \end{aligned}

Příklad 3: z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1

Nyní si položme opačnou otázku. Existuje nějaké číslo z takové, že když každý bod v komplexní rovině pětkrát za sebou vynásobíme tímto číslem, všechno bude stejně jako na začátku? Jinak řečeno, dokážeme vyřešit rovnici z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1? Jedním řešením je samozřejmě z, equals, 1, ale zkusme najít i nějaká další.

Nejprve si uvědomme, že absolutní hodnota hledaného čísla musí být 1, protože kdyby byla větší než 1, tak by se body od počátku s každým vynásobením vzdalovaly, zatímco kdyby byla menší než 1, tak by se všechny body k počátku stále více přibližovaly. S otočením už je to složitější, poněvadž je možné se opakovaným otáčením dostat do původního stavu, a to dokonce vícero způsoby. Když budeme otáčet o start fraction, 1, divided by, 5, end fraction celé otáčky, což vypadá takto

Khan Academy video

Zobrazit přepis videa

tak po 5 otočeních budeme ve stejném stavu jako na začátku, kdy jsme ještě žádné otočení neprovedli.

Khan Academy video

Zobrazit přepis videa

Tomuto otáčení odpovídá násobení číslem cosine, left parenthesis, 72, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 72, degrees, right parenthesis, protože start fraction, 360, degrees, divided by, 5, end fraction, equals, 72, degrees.

Existují ale i další možnosti, například otáčení vždy o start fraction, 2, divided by, 5, end fraction celé otáčky.

Khan Academy video

Zobrazit přepis videa

Rovněž můžeme otáčet sice o start fraction, 1, divided by, 5, end fraction celé otáčky, ale opačným směrem.

Khan Academy video

Zobrazit přepis videa

Ve skutečnosti tvoří všechna řešení rovnice z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1 vrcholy pravidelného pětiúhelníku. Tyto vrcholy navíc leží na jednotkové kružnici:

Příklad 4: z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27

Vyřešit rovnici z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27 znamená najít komplexní číslo z takové, že když jím 6krát za sebou vynásobíme, tak se vzdálenost každého bodu od počátku vynásobí 27 a každý bod se okolo počátku otočí o 180, degrees (znaménko minus u čísla 27 nám říká, že musíme otočit o 180, degrees).

Když 6krát za sebou vynásobíme nějakým číslem a vzdálenost každého bodu od počátku se důsledkem toho zvětší na 27násobek, tak toto číslo musí mít absolutní hodnotu root, start index, 6, end index, equals, square root of, 3, end square root. Jednou možností, jak po 6 stejných otočeních dostat celkové otočení o 180, degrees, je otáčet o start fraction, 180, degrees, divided by, 6, end fraction, equals, 30, degrees. Jedno řešení rovnice z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27 je tedy:

\begin{aligned} \sqrt{3}(\cos(30^\circ) + i\sin(30^\circ)) &= \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

Existují ale i další řešení! Všechna řešení pak tvoří vrcholy pravidelného šestiúhelníku. Tyto vrcholy navíc leží na kružnici se středem v počátku a poloměrem square root of, 3, end square root:

Vidíš proč?

Obecné řešení rovnice z, start superscript, n, end superscript, equals, w

Zkusme poslední dva příklady zobecnit. Jsou-li zadána čísla w a n a naším úkolem je spočítat z (v minulém příkladu bylo n, equals, 6 a w, equals, minus, 27), tak jako první přepíšeme w do goniometrického tvaru:

w, equals, r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis

Z toho plyne, že hledané číslo z musí mít argument start fraction, theta, divided by, n, end fraction a absolutní hodnotu root, start index, n, end index, protože když takovým číslem n-krát za sebou vynásobíme, tak dojde k celkovému otočení každého bodu okolo počátku proti směru hodinových ručiček o úhel theta a vzdálenost každého bodu od počátku se vynásobí číslem r, což je přesně totéž, jako kdybychom vynásobili číslem w. Tudíž:

z, equals, root, start index, n, end index, dot, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, right parenthesis, right parenthesis

Při hledání ostatních řešení se na úhel theta můžeme dívat například jako na theta, plus, 2, pi nebo theta, plus, 4, pi, obecně theta, plus, 2, k, pi pro libovolné celé číslo k, protože jde v zásadě o tentýž úhel. Toto je důležitý krok, protože když budeme ještě před vydělením číslem n místo theta uvažovat theta, plus, 2, pi, k, tak se hodnota výrazu start fraction, theta, divided by, n, end fraction může změnit. Všechna řešení tak budou mít tento tvar:

z, equals, root, start index, n, end index, dot, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start fraction, theta, plus, 2, k, pi, divided by, n, end fraction, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start fraction, theta, plus, 2, k, pi, divided by, n, end fraction, right parenthesis, right parenthesis

kde k je celé číslo. Pro k od 0 do n, minus, 1 vyjdou navzájem různá řešení, ale jakmile se dostaneme ke k, equals, n, tak bude start fraction, theta, plus, 2, n, pi, divided by, n, end fraction, equals, start fraction, theta, divided by, n, end fraction, plus, 2, pi, což je totéž, jako kdybychom počítali s start fraction, theta, divided by, n, end fraction, protože tyto úhly se liší jen o jednu celou otáčku. K určení všech řešení tak stačí uvažovat pouze k od 0 do n, minus, 1.

Chceš se zapojit do diskuze?

Přihlášení

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.

Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.

Komplexní čísla

Kurz: Komplexní čísla > Kapitola 2

Souvislost mezi vztahem i2=−1i^2 = -1i2=−1i, squared, equals, minus, 1 a polohou iiii v komplexní rovině

Mocniny komplexních čísel

Příklad 1: (1+i3)3(1 + i\sqrt{3})^3(1+i3​)3left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed

Příklad 2: (1+i)8(1 + i)^8(1+i)8left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript

Příklad 3: z5=1z^5 = 1z5=1z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1

Příklad 4: z6=−27z^6 = -27z6=−27z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27

Obecné řešení rovnice zn=wz^n= wzn=wz, start superscript, n, end superscript, equals, w

Chceš se zapojit do diskuze?

Souvislost mezi vztahem i, squared, equals, minus, 1 a polohou i v komplexní rovině

Příklad 1: left parenthesis, 1, plus, i, square root of, 3, end square root, right parenthesis, cubed

Příklad 2: left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, start superscript, 8, end superscript

Příklad 3: z, start superscript, 5, end superscript, equals, 1

Příklad 4: z, start superscript, 6, end superscript, equals, minus, 27

Obecné řešení rovnice z, start superscript, n, end superscript, equals, w