Grafické znázornění komplexního násobení a dělení

Už víme, jak vynásobit komplexní čísla v algebraickém tvaru. Jsou-li obě čísla v goniometrickém tvaru, stačí vynásobit jejich absolutní hodnoty a sečíst jejich argumenty:

Goniometrický tvar má nespornou výhodu v tom, že si díky němu můžeme dobře představit, co se při násobení komplexních čísel graficky děje.

Co se stane, když každý bod v komplexní rovině vynásobíme komplexním číslem $z$z? Máme-li $z$z napsáno v goniometrickém tvaru $r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis, tak nám výše uvedený vztah říká, že se vzdálenost každého bodu od počátku vynásobí číslem $r$r a že každý bod otočíme okolo počátku proti směru hodinových ručiček o úhel $\theta$theta.

Vynásobit číslem $z = \sqrt{3} + i = 2 (\cos(30^\circ) + i\sin(30^\circ))$z, equals, square root of, 3, end square root, plus, i, equals, 2, left parenthesis, cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, right parenthesis znamená, že se vzdálenost každého bodu od počátku zvětší na $2$2násobek a že každý bod otočíme okolo počátku proti směru hodinových ručiček o $30^\circ$30, degrees, což vypadá nějak takhle:

Absolutní hodnota čísla $z = \dfrac{1}{3} - \dfrac{i}{3}$z, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction je

a jeho argument je $-45^\circ$minus, 45, degrees. Vynásobit tímto číslem tudíž znamená, že vzdálenost každého bodu od počátku se zmenší na $\dfrac{\sqrt{2}}{3} \approx 0{,}471$start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction, approximately equals, 0, comma, 471násobek, takže všechny body se posunou blíže k počátku, a že každý bod otočíme okolo počátku proti směru hodinových ručiček o $-45^\circ$minus, 45, degrees, čemuž odpovídá otočení po směru hodinových ručiček o $45$45 stupňů.

Vynásobení číslem $z = -2$z, equals, minus, 2, jehož absolutní hodnota je $2$2 a jehož argument je $180^\circ$180, degrees, má za následek otočení všech bodů okolo počátku o polovinu celé otáčky a zvětšení jejich vzdálenosti od počátku na $2$2násobek.

Na násobení komplexním číslem se můžeme obecně dívat také tak, že když si pomocí barevných bodů vyznačíme pozici čísel $1$1 a $z$z, tak se po vynásobení číslem $z$z bod původně označující číslo $1$1 přesune do bodu, kde se původně nacházelo $z$z, což platí díky tomu, že $z \cdot 1 = z$z, dot, 1, equals, z. Toto otočení navíc musí proběhnout tak, aby počátek zůstal na svém místě, protože $z \cdot 0 = 0$z, dot, 0, equals, 0.

Není to úžasné, jak nám jednoduché vztahy jako $z \cdot 1 = z$z, dot, 1, equals, z a $z \cdot 0 = 0$z, dot, 0, equals, 0 mohou pomoci s představou něčeho tak složitého jako komplexní násobení?

Podívejme se, co se stane, když každý bod v komplexní rovině vynásobíme nejprve komplexním číslem $z$z, načež ještě všechno vynásobíme číslem k němu komplexně sdruženým, tedy $\bar z$z, with, \bar, on top:

Pokud má číslo $z$z argument $\theta$theta, jeho komplexně sdružené číslo $\bar z$z, with, \bar, on top má argument $-\theta$minus, theta, takže postupné vynásobení těmito dvěma čísly nebude mít celkem za následek žádné otočení. Tento fakt můžeme nahlédnout také tak, že bod, který původně označoval číslo $1$1, nakonec skončí na kladné reálné poloose.

Jak je to se vzdáleností od počátku? Obě čísla mají stejnou absolutní hodnotu $|z| = |\bar z|$vertical bar, z, vertical bar, equals, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, takže postupné vynásobení číslem $z$z a poté $\bar z$z, with, \bar, on top má celkově za následek zvětšení či zmenšení vzdálenosti každého bodu od počátku na $|z| \cdot |\bar z| = |z|^2$vertical bar, z, vertical bar, dot, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, equals, vertical bar, z, vertical bar, squarednásobek.

Tento fakt můžeme odvodit také algebraicky, protože $(a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = |a + bi|^2$left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, equals, a, squared, plus, b, squared, equals, vertical bar, a, plus, b, i, vertical bar, squared. Vidět dopad na komplexní rovinu je ale velmi poučné.

Co se stane, když každé číslo v komplexní rovině vydělíme číslem $z$z? Má-li $z$z absolutní hodnotu $r$r a argument $\theta$theta, pak je dělení přesným opakem násobení - každý bod se okolo počátku otočí proti směru hodinových ručiček o úhel $-\theta$minus, theta a jeho vzdálenost od počátku se vynásobí číslem $\dfrac{1}{r}$start fraction, 1, divided by, r, end fraction (což znamená, že jeho vzdálenost od počátku $r$r-násobně zmenšíme).

Argument čísla $\sqrt{3} + i$square root of, 3, end square root, plus, i je $30^\circ$30, degrees a jeho absolutní hodnota je $2$2, takže každý bod se okolo počátku otočí proti směru hodinových ručiček o $-30^\circ$minus, 30, degrees, čemuž odpovídá otočení po směru hodinových ručiček o $30$30 stupňů, a jeho vzdálenost od počátku se vynásobí číslem $\dfrac{1}{2}$start fraction, 1, divided by, 2, end fraction (což znamená, že výsledná vzdálenost bude poloviční).

Argument čísla $\dfrac{1}{3} - \dfrac{i}{3}$start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction je $-45^\circ$minus, 45, degrees a jeho absolutní hodnota je

$\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$square root of, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, end square root, equals, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction.

Každý bod se tak okolo počátku otočí o $+45^\circ$plus, 45, degrees proti směru hodinových ručiček a jeho vzdálenost od počátku se zvětší na $\dfrac{3}{\sqrt{2}} \approx 2{,}121$start fraction, 3, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, approximately equals, 2, comma, 121násobek.

Všimni si, že na dělení se můžeme dívat i tak, že bod označující číslo $z$z otáčíme do bodu označujícího číslo $1$1, přičemž počátek musí zůstat na svém místě.

Řekněme, že chceme spočítat $\dfrac{z}{w}$start fraction, z, divided by, w, end fraction, kde $z = a + bi$z, equals, a, plus, b, i a $w = c + di$w, equals, c, plus, d, i. Už víme, že čitatele i jmenovatele musíme vynásobit komplexně sdruženým číslem k $w$w, tedy číslem $\overline{w} = c - di$start overline, w, end overline, equals, c, minus, d, i.

Vydělit číslem $w$w je tedy jinými slovy totéž jako vynásobit číslem $\dfrac{\overline{w}}{\;\,|w|^2}$start fraction, start overline, w, end overline, divided by, vertical bar, w, vertical bar, squared, end fraction. Můžeme si to nějak graficky představit?

Řekněme, že $w$w má argument $\theta$theta a absolutní hodnotu $r$r. Vydělit číslem $w$w pak znamená otočit každý bod okolo počátku proti směru hodinových ručiček o úhel $-\theta$minus, theta a vynásobit jeho vzdálenost od počátku číslem $\dfrac{1}{r}$start fraction, 1, divided by, r, end fraction. Argument čísla $\overline{w}$start overline, w, end overline, tedy čísla komplexně sdruženého, je stejný jako argument čísla $w$w až na to, že má opačné znaménko, takže vynásobení číslem $\overline{w}$start overline, w, end overline skutečně znamená otočení každého bodu okolo počátku proti směru hodinových ručiček o úhel $-\theta$minus, theta, jak jsme chtěli. Vynásobení číslem $\overline{w}$start overline, w, end overline má však za následek také vynásobení vzdálenosti každého bodu od počátku číslem $r$r, ale my tuto vzdálenost potřebujeme násobit zlomkem s $1$1 v čitateli a $r$r ve jmenovateli, což spravíme tak, že ještě vydělíme číslem $r^2 = |w|^2$r, squared, equals, vertical bar, w, vertical bar, squared.

Například přímé vydělení číslem $1+2i$1, plus, 2, i vypadá takto:

Takhle to potom vypadá, když nejprve vynásobíme číslem komplexně sdruženým, tedy $1 - 2i$1, minus, 2, i, a poté vydělíme druhou mocninou absolutní hodnoty našeho čísla, což je $|1 + 2i|^2 = 5$vertical bar, 1, plus, 2, i, vertical bar, squared, equals, 5.

Konečný výsledek je v obou případech stejný.