If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Grafické znázornění komplexního násobení a dělení

Přečti si o tom, jak vypadá součin a podíl komplexních čísel v komplexní rovině a jaký dopad má na komplexní rovinu násobení a dělení komplexním číslem.

Grafické znázornění komplexního násobení

Už víme, jak vynásobit komplexní čísla v algebraickém tvaru. Jsou-li obě čísla v goniometrickém tvaru, stačí vynásobit jejich absolutní hodnoty a sečíst jejich argumenty:
=r(cos(α)+isin(α))s(cos(β)+isin(β))=rs[cos(α+β)+isin(α+β)]\begin{aligned} &\phantom{=}r(\cos(\alpha) + i\sin(\alpha)) \cdot s(\cos(\beta) + i\sin(\beta))\\\\ & =rs[\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)] \end{aligned}
Goniometrický tvar má nespornou výhodu v tom, že si díky němu můžeme dobře představit, co se při násobení komplexních čísel graficky děje.
Co se stane, když každý bod v komplexní rovině vynásobíme komplexním číslem z? Máme-li z napsáno v goniometrickém tvaru r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis, tak nám výše uvedený vztah říká, že se vzdálenost každého bodu od počátku vynásobí číslem r a že každý bod otočíme okolo počátku proti směru hodinových ručiček o úhel theta.

Příklady

Vynásobit číslem z, equals, square root of, 3, end square root, plus, i, equals, 2, left parenthesis, cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, right parenthesis znamená, že se vzdálenost každého bodu od počátku zvětší na 2násobek a že každý bod otočíme okolo počátku proti směru hodinových ručiček o 30, degrees, což vypadá nějak takhle:
Khan Academy video
Absolutní hodnota čísla z, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction je
square root of, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, end square root, equals, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction
a jeho argument je minus, 45, degrees. Vynásobit tímto číslem tudíž znamená, že vzdálenost každého bodu od počátku se zmenší na start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction, approximately equals, 0, comma, 471násobek, takže všechny body se posunou blíže k počátku, a že každý bod otočíme okolo počátku proti směru hodinových ručiček o minus, 45, degrees, čemuž odpovídá otočení po směru hodinových ručiček o 45 stupňů.
Khan Academy video
Vynásobení číslem z, equals, minus, 2, jehož absolutní hodnota je 2 a jehož argument je 180, degrees, má za následek otočení všech bodů okolo počátku o polovinu celé otáčky a zvětšení jejich vzdálenosti od počátku na 2násobek.
Khan Academy video
Na násobení komplexním číslem se můžeme obecně dívat také tak, že když si pomocí barevných bodů vyznačíme pozici čísel 1 a z, tak se po vynásobení číslem z bod původně označující číslo 1 přesune do bodu, kde se původně nacházelo z, což platí díky tomu, že z, dot, 1, equals, z. Toto otočení navíc musí proběhnout tak, aby počátek zůstal na svém místě, protože z, dot, 0, equals, 0.
Khan Academy video
Khan Academy video
Khan Academy video
Není to úžasné, jak nám jednoduché vztahy jako z, dot, 1, equals, z a z, dot, 0, equals, 0 mohou pomoci s představou něčeho tak složitého jako komplexní násobení?

Grafické znázornění komplexně sdružených čísel

Podívejme se, co se stane, když každý bod v komplexní rovině vynásobíme nejprve komplexním číslem z, načež ještě všechno vynásobíme číslem k němu komplexně sdruženým, tedy z, with, \bar, on top:
Khan Academy video
Khan Academy video
Pokud má číslo z argument theta, jeho komplexně sdružené číslo z, with, \bar, on top má argument minus, theta, takže postupné vynásobení těmito dvěma čísly nebude mít celkem za následek žádné otočení. Tento fakt můžeme nahlédnout také tak, že bod, který původně označoval číslo 1, nakonec skončí na kladné reálné poloose.
Jak je to se vzdáleností od počátku? Obě čísla mají stejnou absolutní hodnotu vertical bar, z, vertical bar, equals, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, takže postupné vynásobení číslem z a poté z, with, \bar, on top má celkově za následek zvětšení či zmenšení vzdálenosti každého bodu od počátku na vertical bar, z, vertical bar, dot, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, equals, vertical bar, z, vertical bar, squarednásobek.
Tento fakt můžeme odvodit také algebraicky, protože left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, equals, a, squared, plus, b, squared, equals, vertical bar, a, plus, b, i, vertical bar, squared. Vidět dopad na komplexní rovinu je ale velmi poučné.

Grafické znázornění komplexního dělení

Co se stane, když každé číslo v komplexní rovině vydělíme číslem z? Má-li z absolutní hodnotu r a argument theta, pak je dělení přesným opakem násobení - každý bod se okolo počátku otočí proti směru hodinových ručiček o úhel minus, theta a jeho vzdálenost od počátku se vynásobí číslem start fraction, 1, divided by, r, end fraction (což znamená, že jeho vzdálenost od počátku r-násobně zmenšíme).

Příklad 1: Vydělení číslem square root of, 3, end square root, plus, i

Argument čísla square root of, 3, end square root, plus, i je 30, degrees a jeho absolutní hodnota je 2, takže každý bod se okolo počátku otočí proti směru hodinových ručiček o minus, 30, degrees, čemuž odpovídá otočení po směru hodinových ručiček o 30 stupňů, a jeho vzdálenost od počátku se vynásobí číslem start fraction, 1, divided by, 2, end fraction (což znamená, že výsledná vzdálenost bude poloviční).
Khan Academy video

Příklad 2: Vydělení číslem start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction

Argument čísla start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction je minus, 45, degrees a jeho absolutní hodnota je
square root of, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, end square root, equals, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction.
Každý bod se tak okolo počátku otočí o plus, 45, degrees proti směru hodinových ručiček a jeho vzdálenost od počátku se zvětší na start fraction, 3, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, approximately equals, 2, comma, 121násobek.
Khan Academy video
Všimni si, že na dělení se můžeme dívat i tak, že bod označující číslo z otáčíme do bodu označujícího číslo 1, přičemž počátek musí zůstat na svém místě.

Souvislost mezi grafickým dělením v komplexní rovině a výpočtem pomocí vzorce

Řekněme, že chceme spočítat start fraction, z, divided by, w, end fraction, kde z, equals, a, plus, b, i a w, equals, c, plus, d, i. Už víme, že čitatele i jmenovatele musíme vynásobit komplexně sdruženým číslem k w, tedy číslem start overline, w, end overline, equals, c, minus, d, i.
start fraction, z, divided by, w, end fraction, equals, start fraction, a, plus, b, i, divided by, c, plus, d, i, end fraction, equals, start fraction, a, plus, b, i, divided by, c, plus, d, i, end fraction, dot, start fraction, c, minus, d, i, divided by, c, minus, d, i, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, c, minus, d, i, right parenthesis, divided by, c, squared, plus, d, squared, end fraction, equals, start fraction, z, dot, start overline, w, end overline, divided by, vertical bar, w, vertical bar, squared, end fraction
Vydělit číslem w je tedy jinými slovy totéž jako vynásobit číslem start fraction, start overline, w, end overline, divided by, vertical bar, w, vertical bar, squared, end fraction. Můžeme si to nějak graficky představit?
Řekněme, že w má argument theta a absolutní hodnotu r. Vydělit číslem w pak znamená otočit každý bod okolo počátku proti směru hodinových ručiček o úhel minus, theta a vynásobit jeho vzdálenost od počátku číslem start fraction, 1, divided by, r, end fraction. Argument čísla start overline, w, end overline, tedy čísla komplexně sdruženého, je stejný jako argument čísla w až na to, že má opačné znaménko, takže vynásobení číslem start overline, w, end overline skutečně znamená otočení každého bodu okolo počátku proti směru hodinových ručiček o úhel minus, theta, jak jsme chtěli. Vynásobení číslem start overline, w, end overline má však za následek také vynásobení vzdálenosti každého bodu od počátku číslem r, ale my tuto vzdálenost potřebujeme násobit zlomkem s 1 v čitateli a r ve jmenovateli, což spravíme tak, že ještě vydělíme číslem r, squared, equals, vertical bar, w, vertical bar, squared.
Například přímé vydělení číslem 1, plus, 2, i vypadá takto:
Khan Academy video
Takhle to potom vypadá, když nejprve vynásobíme číslem komplexně sdruženým, tedy 1, minus, 2, i, a poté vydělíme druhou mocninou absolutní hodnoty našeho čísla, což je vertical bar, 1, plus, 2, i, vertical bar, squared, equals, 5.
Khan Academy video
Konečný výsledek je v obou případech stejný.