If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Grafické znázornění komplexního násobení a dělení

Přečti si o tom, jak vypadá součin a podíl komplexních čísel v komplexní rovině a jaký dopad má na komplexní rovinu násobení a dělení komplexním číslem.

Grafické znázornění komplexního násobení

Už víme, jak vynásobit komplexní čísla v algebraickém tvaru. Jsou-li obě čísla v goniometrickém tvaru, stačí vynásobit jejich absolutní hodnoty a sečíst jejich argumenty:
=r(cos(α)+isin(α))s(cos(β)+isin(β))=rs[cos(α+β)+isin(α+β)]
Goniometrický tvar má nespornou výhodu v tom, že si díky němu můžeme dobře představit, co se při násobení komplexních čísel graficky děje.
Co se stane, když každý bod v komplexní rovině vynásobíme komplexním číslem z? Máme-li z napsáno v goniometrickém tvaru r(cos(θ)+isin(θ)), tak nám výše uvedený vztah říká, že se vzdálenost každého bodu od počátku vynásobí číslem r a že každý bod otočíme okolo počátku proti směru hodinových ručiček o úhel θ.

Příklady

Vynásobit číslem z=3+i=2(cos(30)+isin(30)) znamená, že se vzdálenost každého bodu od počátku zvětší na 2násobek a že každý bod otočíme okolo počátku proti směru hodinových ručiček o 30, což vypadá nějak takhle:
Khan Academy video
Absolutní hodnota čísla z=13i3 je
(13)2+(13)2=23
a jeho argument je 45. Vynásobit tímto číslem tudíž znamená, že vzdálenost každého bodu od počátku se zmenší na 230,471násobek, takže všechny body se posunou blíže k počátku, a že každý bod otočíme okolo počátku proti směru hodinových ručiček o 45, čemuž odpovídá otočení po směru hodinových ručiček o 45 stupňů.
Khan Academy video
Vynásobení číslem z=2, jehož absolutní hodnota je 2 a jehož argument je 180, má za následek otočení všech bodů okolo počátku o polovinu celé otáčky a zvětšení jejich vzdálenosti od počátku na 2násobek.
Khan Academy video
Na násobení komplexním číslem se můžeme obecně dívat také tak, že když si pomocí barevných bodů vyznačíme pozici čísel 1 a z, tak se po vynásobení číslem z bod původně označující číslo 1 přesune do bodu, kde se původně nacházelo z, což platí díky tomu, že z1=z. Toto otočení navíc musí proběhnout tak, aby počátek zůstal na svém místě, protože z0=0.
Khan Academy video
Khan Academy video
Khan Academy video
Není to úžasné, jak nám jednoduché vztahy jako z1=z a z0=0 mohou pomoci s představou něčeho tak složitého jako komplexní násobení?

Grafické znázornění komplexně sdružených čísel

Podívejme se, co se stane, když každý bod v komplexní rovině vynásobíme nejprve komplexním číslem z, načež ještě všechno vynásobíme číslem k němu komplexně sdruženým, tedy z¯:
Khan Academy video
Khan Academy video
Pokud má číslo z argument θ, jeho komplexně sdružené číslo z¯ má argument θ, takže postupné vynásobení těmito dvěma čísly nebude mít celkem za následek žádné otočení. Tento fakt můžeme nahlédnout také tak, že bod, který původně označoval číslo 1, nakonec skončí na kladné reálné poloose.
Jak je to se vzdáleností od počátku? Obě čísla mají stejnou absolutní hodnotu |z|=|z¯|, takže postupné vynásobení číslem z a poté z¯ má celkově za následek zvětšení či zmenšení vzdálenosti každého bodu od počátku na |z||z¯|=|z|2násobek.
Tento fakt můžeme odvodit také algebraicky, protože (a+bi)(abi)=a2+b2=|a+bi|2. Vidět dopad na komplexní rovinu je ale velmi poučné.

Grafické znázornění komplexního dělení

Co se stane, když každé číslo v komplexní rovině vydělíme číslem z? Má-li z absolutní hodnotu r a argument θ, pak je dělení přesným opakem násobení - každý bod se okolo počátku otočí proti směru hodinových ručiček o úhel θ a jeho vzdálenost od počátku se vynásobí číslem 1r (což znamená, že jeho vzdálenost od počátku r-násobně zmenšíme).

Příklad 1: Vydělení číslem 3+i

Argument čísla 3+i je 30 a jeho absolutní hodnota je 2, takže každý bod se okolo počátku otočí proti směru hodinových ručiček o 30, čemuž odpovídá otočení po směru hodinových ručiček o 30 stupňů, a jeho vzdálenost od počátku se vynásobí číslem 12 (což znamená, že výsledná vzdálenost bude poloviční).
Khan Academy video

Příklad 2: Vydělení číslem 13i3

Argument čísla 13i3 je 45 a jeho absolutní hodnota je
(13)2+(13)2=23.
Každý bod se tak okolo počátku otočí o +45 proti směru hodinových ručiček a jeho vzdálenost od počátku se zvětší na 322,121násobek.
Khan Academy video
Všimni si, že na dělení se můžeme dívat i tak, že bod označující číslo z otáčíme do bodu označujícího číslo 1, přičemž počátek musí zůstat na svém místě.

Souvislost mezi grafickým dělením v komplexní rovině a výpočtem pomocí vzorce

Řekněme, že chceme spočítat zw, kde z=a+bi a w=c+di. Už víme, že čitatele i jmenovatele musíme vynásobit komplexně sdruženým číslem k w, tedy číslem w=cdi.
zw=a+bic+di=a+bic+dicdicdi=(a+bi)(cdi)c2+d2=zw|w|2
Vydělit číslem w je tedy jinými slovy totéž jako vynásobit číslem w|w|2. Můžeme si to nějak graficky představit?
Řekněme, že w má argument θ a absolutní hodnotu r. Vydělit číslem w pak znamená otočit každý bod okolo počátku proti směru hodinových ručiček o úhel θ a vynásobit jeho vzdálenost od počátku číslem 1r. Argument čísla w, tedy čísla komplexně sdruženého, je stejný jako argument čísla w až na to, že má opačné znaménko, takže vynásobení číslem w skutečně znamená otočení každého bodu okolo počátku proti směru hodinových ručiček o úhel θ, jak jsme chtěli. Vynásobení číslem w má však za následek také vynásobení vzdálenosti každého bodu od počátku číslem r, ale my tuto vzdálenost potřebujeme násobit zlomkem s 1 v čitateli a r ve jmenovateli, což spravíme tak, že ještě vydělíme číslem r2=|w|2.
Například přímé vydělení číslem 1+2i vypadá takto:
Khan Academy video
Takhle to potom vypadá, když nejprve vynásobíme číslem komplexně sdruženým, tedy 12i, a poté vydělíme druhou mocninou absolutní hodnoty našeho čísla, což je |1+2i|2=5.
Khan Academy video
Konečný výsledek je v obou případech stejný.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.