If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Goniometrický tvar komplexních čísel - přehled

Připomeň si, jak vypadá goniometrický tvar komplexních čísel, a procvič si jeho použití při násobení, dělení a mocnění komplexních čísel.

Jak vypadá goniometrický tvar komplexního čísla?

start color #e07d10, r, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, plus, i, sine, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis
Goniometrický tvar zdůrazňuje geometrické vlastnosti komplexního čísla, konkrétně jeho start color #e07d10, start text, a, b, s, o, l, u, t, n, ı, with, \', on top, space, h, o, d, n, o, t, u, end text, end color #e07d10 (vzdálenost daného čísla od počátku v komplexní rovině) a start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #aa87ff (velikost úhlu, který svírá spojnice daného čísla a počátku v komplexní rovině s kladnou reálnou poloosou). Absolutní hodnotě se někdy říká start color #e07d10, start text, m, o, d, u, l, u, s, end text, end color #e07d10start color #aa87ff, start text, end text, end color #aa87ff.
Všimni si, že když v goniometrickém tvaru roznásobíme závorku, vyjde nám příslušný algebraický tvar:
Chceš se dozvědět víc o goniometrickém tvaru komplexních čísel? Podívej se na toto video.
Zajímá tě, jaké všechny tvary může komplexní číslo mít? Přečti si tento článek.
Chceš se naučit víc o převádění mezi algebraickým a goniometrickým tvarem? Podívej se na tento článek.

Sada příkladů 1: Násobení a dělení čísel v goniometrickém tvaru

Goniometrický tvar je při násobení a dělení komplexních čísel velmi užitečný:
z1=r1(cosθ1+isinθ1)z2=r2(cosθ2+isinθ2)z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z1z2=r1r2[cos(θ1θ2)+isin(θ1θ2)]\begin{aligned} z_1&=\goldD{r_1}(\cos\purpleC{\theta_1}+i\sin\purpleC{\theta_1}) \\ z_2&=\goldD{r_2}(\cos\purpleC{\theta_2}+i\sin\purpleC{\theta_2}) \\ &\Downarrow \\ z_1z_2&=\goldD{r_1r_2}[\cos(\purpleC{\theta_1+\theta_2})+i\sin(\purpleC{\theta_1+\theta_2})] \\\\ \dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{\goldD{r_1}}{\goldD{r_2}}[\cos(\purpleC{\theta_1-\theta_2})+i\sin(\purpleC{\theta_1-\theta_2})] \end{aligned}
Chceš se o násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru dozvědět více? Podívej se na toto video.
Příklad 1.1
w, start subscript, 1, end subscript, equals, 5, open bracket, cosine, left parenthesis, 15, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 15, degrees, right parenthesis, close bracket
w, start subscript, 2, end subscript, equals, 3, open bracket, cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis, close bracket
w, start subscript, 1, end subscript, dot, w, start subscript, 2, end subscript, equals

Odpověď napiš v goniometrickém tvaru. Argument uveď ve stupních.

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Zkus toto cvičení.

Sada příkladů 2: Mocniny komplexních čísel v goniometrickém tvaru

z1=r1(cosθ1+isinθ1)(z1)n=(r1)n[cos(nθ1)+isin(nθ1)]\begin{aligned} z_1&=\goldD{r_1}(\cos\purpleC{\theta_1}+i\sin\purpleC{\theta_1}) \\ &\Downarrow \\ (z_1)^n&=(\goldD{r_1})^n[\cos(n\cdot\purpleC{\theta_1})+i\sin(n\cdot\purpleC{\theta_1})] \end{aligned}

Příklad 1

Zkusme spočítat left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript. Nejprve mocněné číslo převedeme do goniometrického tvaru:
left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, plus, i, sine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis
Nyní použijeme výše uvedené pravidlo:
=[2(cos60+isin60)]6=(2)6[cos(660)+isin(660)]=64(cos360+isin360)=64(1+i0)=64\begin{aligned} &\phantom{=}[\goldD{2}(\cos\purpleC{60^\circ}+i\sin\purpleC{60^\circ})]^6 \\\\ &=(\goldD 2)^6[\cos(6\cdot\purpleC{60^\circ})+i\sin(6\cdot\purpleC{60^\circ})] \\\\ &=64(\cos360^\circ+i\sin360^\circ) \\\\ &=64(1+i\cdot 0) \\\\ &=64 \end{aligned}

Příklad 2

Řekněme, že chceme vyřešit rovnici z, cubed, equals, 27. Nejprve označme absolutní hodnotu a argument čísla z po řadě jako r a theta. z, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript se potom rovná r, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, open bracket, cosine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, close bracket.
Číslo 27 můžeme napsat jako 27, open bracket, cosine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, close bracket, kde k je celé číslo.
Z původní rovnice z, cubed, equals, 27 tak získáváme dvě nové rovnice:
r, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, equals, 27
start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, equals, k, dot, 360, degrees
Protože r je reálné číslo, řešením první rovnice je pouze r, equals, 3. Druhá rovnice má řešení theta, equals, k, dot, 120, degrees, což nám dá tři odlišná řešení, a to 0, degrees, 120, degrees a 240, degrees (stačí uvažovat pouze úhly o velikosti větší nebo rovno 0 stupňů a menší než 360 stupňů). Těmto hodnotám odpovídají následující tři řešení původní rovnice:
z1=3z2=32+332iz3=32332i\begin{aligned} z_1&=3 \\\\ z_2&=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt 3}{2}i \\\\ z_3&=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt 3}{2}i \end{aligned}
Příklad 2.1
left parenthesis, square root of, 2, end square root, plus, square root of, 2, end square root, i, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript, equals

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.