Goniometrický tvar komplexních čísel - přehled

Goniometrický tvar zdůrazňuje geometrické vlastnosti komplexního čísla, konkrétně jeho $\goldD{\text{absolutní hodnotu}}$start color #e07d10, start text, a, b, s, o, l, u, t, n, ı, with, \', on top, space, h, o, d, n, o, t, u, end text, end color #e07d10 (vzdálenost daného čísla od počátku v komplexní rovině) a $\purpleC{\text{argument}}$start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #aa87ff (velikost úhlu, který svírá spojnice daného čísla a počátku v komplexní rovině s kladnou reálnou poloosou). Absolutní hodnotě se někdy říká $\goldD{\text{modulus}}$start color #e07d10, start text, m, o, d, u, l, u, s, end text, end color #e07d10$\purpleC{\text{}}$start color #aa87ff, start text, end text, end color #aa87ff.

Všimni si, že když v goniometrickém tvaru roznásobíme závorku, vyjde nám příslušný algebraický tvar:

Goniometrický tvar je při násobení a dělení komplexních čísel velmi užitečný:

Zkusme spočítat $(1+\sqrt{3}i)^6$left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript. Nejprve mocněné číslo převedeme do goniometrického tvaru:

$(1+\sqrt{3}i)=\goldD{2}(\cos\purpleC{60^\circ}+i\sin\purpleC{60^\circ})$left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, plus, i, sine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis

Nyní použijeme výše uvedené pravidlo:

Řekněme, že chceme vyřešit rovnici $z^3=27$z, cubed, equals, 27. Nejprve označme absolutní hodnotu a argument čísla $z$z po řadě jako $r$r a $\theta$theta. $z^\blueD{3}$z, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript se potom rovná $r^\blueD{3}[\cos {(\blueD{3}\cdot\theta)}+i\sin {(\blueD{3}\cdot\theta)}]$r, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, open bracket, cosine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, close bracket.

Číslo $27$27 můžeme napsat jako $27[\cos(k\cdot360^\circ)+i\sin(k\cdot360^\circ)]$27, open bracket, cosine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, close bracket, kde $k$k je celé číslo.

Z původní rovnice $z^3=27$z, cubed, equals, 27 tak získáváme dvě nové rovnice:

Protože $r$r je reálné číslo, řešením první rovnice je pouze $r=3$r, equals, 3. Druhá rovnice má řešení $\theta=k\cdot 120^\circ$theta, equals, k, dot, 120, degrees, což nám dá tři odlišná řešení, a to $0^\circ$0, degrees, $120^\circ$120, degrees a $240^\circ$240, degrees (stačí uvažovat pouze úhly o velikosti větší nebo rovno $0$0 stupňů a menší než $360$360 stupňů). Těmto hodnotám odpovídají následující tři řešení původní rovnice: