If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Goniometrický tvar komplexních čísel - přehled

Připomeň si, jak vypadá goniometrický tvar komplexních čísel, a procvič si jeho použití při násobení, dělení a mocnění komplexních čísel.

Jak vypadá goniometrický tvar komplexního čísla?

r(cosθ+isinθ)
Goniometrický tvar zdůrazňuje geometrické vlastnosti komplexního čísla, konkrétně jeho absolutní hodnotu (vzdálenost daného čísla od počátku v komplexní rovině) a argument (velikost úhlu, který svírá spojnice daného čísla a počátku v komplexní rovině s kladnou reálnou poloosou). Absolutní hodnotě se někdy říká modulus.
Všimni si, že když v goniometrickém tvaru roznásobíme závorku, vyjde nám příslušný algebraický tvar:
Chceš se dozvědět víc o goniometrickém tvaru komplexních čísel? Podívej se na toto video.
Zajímá tě, jaké všechny tvary může komplexní číslo mít? Přečti si tento článek.
Chceš se naučit víc o převádění mezi algebraickým a goniometrickým tvarem? Podívej se na tento článek.

Sada příkladů 1: Násobení a dělení čísel v goniometrickém tvaru

Goniometrický tvar je při násobení a dělení komplexních čísel velmi užitečný:
z1=r1(cosθ1+isinθ1)z2=r2(cosθ2+isinθ2)z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z1z2=r1r2[cos(θ1θ2)+isin(θ1θ2)]
Chceš se o násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru dozvědět více? Podívej se na toto video.
Příklad 1.1
w1=5[cos(15)+isin(15)]
w2=3[cos(45)+isin(45)]
w1w2=

Odpověď napiš v goniometrickém tvaru. Argument uveď ve stupních.

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Zkus toto cvičení.

Sada příkladů 2: Mocniny komplexních čísel v goniometrickém tvaru

z1=r1(cosθ1+isinθ1)(z1)n=(r1)n[cos(nθ1)+isin(nθ1)]

Příklad 1

Zkusme spočítat (1+3i)6. Nejprve mocněné číslo převedeme do goniometrického tvaru:
(1+3i)=2(cos60+isin60)
Nyní použijeme výše uvedené pravidlo:
=[2(cos60+isin60)]6=(2)6[cos(660)+isin(660)]=64(cos360+isin360)=64(1+i0)=64

Příklad 2

Řekněme, že chceme vyřešit rovnici z3=27. Nejprve označme absolutní hodnotu a argument čísla z po řadě jako r a θ. z3 se potom rovná r3[cos(3θ)+isin(3θ)].
Číslo 27 můžeme napsat jako 27[cos(k360)+isin(k360)], kde k je celé číslo.
Z původní rovnice z3=27 tak získáváme dvě nové rovnice:
r3=27
3θ=k360
Protože r je reálné číslo, řešením první rovnice je pouze r=3. Druhá rovnice má řešení θ=k120, což nám dá tři odlišná řešení, a to 0, 120 a 240 (stačí uvažovat pouze úhly o velikosti větší nebo rovno 0 stupňů a menší než 360 stupňů). Těmto hodnotám odpovídají následující tři řešení původní rovnice:
z1=3z2=32+332iz3=32332i
Příklad 2.1
(2+2i)6=

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.