Úvod do komplexně sdružených čísel

Dnes jen krátce zopakujeme to, co už dávno známe. A potom se naučíme nový pojem ze světa komplexních čísel, který se nám v budoucnu může hodně hodit. Tak pojďme na to. Máme tady nějaké klasické komplexní číslo z, které se skládá z reálné a imaginární části, přičemž "a" je tady ta reálná část, "b" je ta část imaginární a i je potom imaginární jednotka. Tím bychom měli za sebou jenom krátké opáčko toho, co už dávno známe. Jenom pro připomenutí. A teď už se podíváme na ten nový pojem, na který jsem vás tak navnadila na začátku a tím je komplexně sdružené číslo. Komplexně sdružené číslo k číslu z značíme jako z s pruhem nebo také takto. A je to vlastně to komplexní číslo z, které má reálnou část stejnou a liší se pouze znaménkem před imaginární částí. Takže to nebude a plus bi. Ale a - bi. V tomto případě. Když si to budeme chtít ukázat na naší komplexní Gaussově rovině můžeme si zkusit náčrtnout nějaké to číslo z, které může být třeba takto. Načrtneme si to jako vektor, který vede do toho čísla z. Tady je číslo z. Na reálné části máme tady naše a. A imaginární část b je tady. Toto je naše číslo z. Chceme li zaznačit z s pruhem, tak to je a - bi. Tedy a bude stejné. Ale potom tam musíme mít minus b a když b je 3 tak minus b bude -3. Takže tady je naše -b, a nám zůstává. A teď můžeme zaznačit naše z s pruhem. Zase si to zaznačíme takto vektorem ještě. Toto je z s pruhem. Vidíme, že jsou jaksi zrcadlově obrácené. Když to řekneme správně matematicky tak jsou osově souměrné podle té reálné osy na té komplexní rovině. Co by se stalo kdybychom zkusili tyto dva vektory sečíst? Pojďme si to vyzkoušet. Budeme pokračovat odsud a načrtneme si ten vektor toho z s pruhem a my vidíme, co se stalo. Imaginární částí jsme došli k nule a té reálné části, když a jsou čtyři a my jsme v osmičce, tak jsme se dostali do bodu 2a. Ukážeme si, že to vlastně takto platí vždycky, protože když chceme sečíst z a u s pruhem, tak sčítáme vlastně a + bi + a - bi. Plus bi a minus bi nám dojde k té nule, v imaginární části zůstane ale jenom a + a, to jsou 2a. Přesně jako tady. Takže ještě úplně obecně, máme-li jakékoli komplexní číslo z a sčítám ho s číslem komplexně sdruženým, to co dostanu je dvojnásobek reálné části komplexního čísla z. Nebo také komplexně sdružené čísla z s pruhem, poněvadž jejich reálná část je stejná. Vy si řeknete, to je sice hezké, že máme to komplexně sdružené číslo, ale může nám to vlastně být k něčemu užitečné? Hned si ukážeme, že opravdu může. Představme si, že máme třeba takovýto zlomek. 1 + 2i lomeno 4 - 5i. To je takový nehezký zlomek, je to vlastně dělení komplexních čísel, což by nám mělo dát ve výsledku komplexní číslo, ale vlastně nevíme moc co s tím máme dělat, jak to upravit, není to úplně očividné. Já mám tady v záloze jedno řešení. Co kdybychom čitatele i jmenovatele vynásobili komplexně sdruženým číslem ke komplexnímu číslu ve jmenovateli. Takže bychom tedy čitatele i jmenovatele. Vy násobili komplexním číslem 4 + 5i. K čemu nám to ale pomůže? V čiteteli, to se roznásobí. Ale důležité je, co se stane ve jmenovateli. Protože když se na to podíváte, tak tam můžete vidět vzorec (a - b) krát (a + b). Což my už víme, že je to stejné jako a na druhou minus b na druhou. Takže tam se nám stane něco zajímavého. Tak pojďme na to. Nahoře si jenom roznásobíme, takže jdeme na to. 1 krát 4 jsou 4, 1 krát +5i je plus 5i. 2i krát 4 je plus 8i. 2i krát 5i je 10i na druhou. A dole,jak už jsem řekla máme a - b krát a + b. A výsledkem bude a na druhou minus b na druhou. Tedy 4 na druhou minus 5i to celé na druhou. Pojďme pokračovat dál. Ještě než budeme tady sčítat, tak se podíváme, že tady máme i na druhou. A my víme, že i na druhou je -1 z definice. Tudíž celá tady tato věc bude deset krát minus jedna a tedy minus 10. To jen tak pro pořádek. Takže jdeme sčítat reálné a imaginární části 4 - 10 je - 6. Plus 5i + 8i je plus 13i To byl čitatel. Ve jmenovateli máme 4 na druhou to je 16. A teď pozor! Tady 5i na druhou to je vlastně 25i na druhou. Už jsme si řekli, že i na druhou je minus jedna. A tady toto je stejné jako minus 25. 25 krát minus jedna je minus 25. Máme tady minus minus 25 a tedy tady budeme mít plus 25. 16 minus minus 25 je 16 plus 25. Pokračujeme dál.Čitatel už ponecháme. To už nemůžeme dále upravit. A dole sečteme. 16 + 25 je 41. A pokud to budeme chtít zapsat hezky jako to komplexní číslo, tak to ještě takto za píšeme jako minus 6/41 plus 13/41 i. Podařilo se nám tento zlomek ze začátku upravit na jedno komplexní číslo a to pomocí toho, že jsme využili komplexně sdružené čísla. Jak jste si asi všimli, když vynásobíme komplexní číslo tím komplexně sdruženým, dostaneme číslo reálné. To si můžeme opět zobecnit, takže když napíšeme, že chceme vynásobit z komplexně sdružených číslem z s pruhem, tak vlastně děláme to, že násobín a + bi obecně krát nějaké a - bi. A dostaneme, jak už jsme to tady měli, a na druhou minus b na druhou, první člen na druhou minus druhý člen na druhou. A tedy a na druhou minus bi to celé na druhou. A tedy a na druhou bi na druhou je b na druhou i na druhou a my už jsme si zase říkali, že i na druhou je minus jedna. Tedy toto celé je minus b na druhou, poněvadž je to minus 1 krát b na druhou. Takže tady zase máme a na druhou minus minus b na druhou. Takže to je a na druhou plus b na druhou. Přesně jako tady. A to a na druhou plus b na druhou, další zajímavá vlastnost, je vlastně absolutní hodnota z na druhou. Tím se teď nenechte zmást o absolutní hodnotě komplexní čísla si budeme povídat v dalších videích. Takže to je taková jedna užitečná věc na kterou můžeme komplexně sdružené číslo použít. Tak si to zapamatujte. Budeme s tím ještě dál pracovat.