Přehled různých tvarů komplexního čísla

Algebraický tvar komplexního čísla je součtem dvou čísel, a to jeho $\blueD{\text{reálné}}$start color #11accd, start text, r, e, a, with, \', on top, l, n, e, with, \', on top, end text, end color #11accd části a jeho $\greenD{\text{imaginární}}$start color #1fab54, start text, i, m, a, g, i, n, a, with, \', on top, r, n, ı, with, \', on top, end text, end color #1fab54 části vynásobené imaginární jednotkou $i$i.

Psát čísla v tomto tvaru je velmi výhodné při sčítání a odčítání komplexních čísel.

Komplexní číslo v algebraickém tvaru také snadno zakreslíme do komplexní roviny. Reálná a imaginární část daného čísla jsou totiž jeho souřadnicemi na reálné a imaginární ose v tomto pořadí.

Goniometrický tvar zdůrazňuje geometrické vlastnosti komplexního čísla, konkrétně jeho $\goldD{\text{absolutní hodnotu}}$start color #e07d10, start text, a, b, s, o, l, u, t, n, ı, with, \', on top, space, h, o, d, n, o, t, u, end text, end color #e07d10 (vzdálenost daného čísla od počátku v komplexní rovině) a $\purpleC{\text{argument}}$start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #aa87ff (velikost úhlu, který svírá spojnice daného čísla a počátku v komplexní rovině s kladnou reálnou poloosou). Absolutní hodnotě se někdy říká $\goldD{\text{modulus}}$start color #e07d10, start text, m, o, d, u, l, u, s, end text, end color #e07d10$\purpleC{\text{}}$start color #aa87ff, start text, end text, end color #aa87ff.

Všimni si, že když v goniometrickém tvaru roznásobíme závorku, vyjde nám příslušný algebraický tvar:

Goniometrický tvar je velmi užitečný při násobení a dělení komplexních čísel. Například součin dvou komplexních čísel s absolutními hodnotami $\goldD{r_1}$start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10 a $\goldD{r_2}$start color #e07d10, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 a argumenty $\purpleC{\theta_1}$start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff a $\purpleC{\theta_2}$start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff je komplexní číslo s absolutní hodnotou $\goldD{r_1r_2}$start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 a argumentem $\purpleC{\theta_1+\theta_2}$start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, plus, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff. Více si o tom povíme v následující lekci.

V exponenciálním tvaru komplexního čísla se vyskytují stejné atributy daného čísla jako ve tvaru goniometrickém, a to $\goldD{\text{absolutní hodnota}}$start color #e07d10, start text, a, b, s, o, l, u, t, n, ı, with, \', on top, space, h, o, d, n, o, t, a, end text, end color #e07d10 a $\purpleC{\text{argument}}$start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #aa87ff. Jde jen o jiný a kratší zápis, se kterým se dobře pracuje. Například součin dvou komplexních čísel můžeme díky exponenciálnímu tvaru zapsat takto:

Tento tvar využívá rozšířenou exponenciální funkci $e^z$e, start superscript, z, end superscript definovanou pro libovolné komplexní číslo $z$z. Přesné odůvodnění je poměrně složité, ale výsledný vztah je jednoduchý: pro libovolné reálné číslo $x$x definujeme $e^{ix}$e, start superscript, i, x, end superscript jako $\cos(x)+i\sin(x)$cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

Užitím této definice dostáváme rovnost mezi exponenciálním a goniometrickým tvarem: