If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Přehled různých tvarů komplexního čísla

Osvěž si své znalosti o různých typech zápisu komplexních čísel - jejich algebraickém, goniometrickém a exponenciálním tvaru.

Jaké tvary komplexního číslo známe?

Algebraickýa, plus, b, i
Goniometrickýr, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis
Exponenciálnír, dot, e, start superscript, i, theta, end superscript

Algebraický tvar

start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, i
Algebraický tvar komplexního čísla je součtem dvou čísel, a to jeho start color #11accd, start text, r, e, a, with, \', on top, l, n, e, with, \', on top, end text, end color #11accd části a jeho start color #1fab54, start text, i, m, a, g, i, n, a, with, \', on top, r, n, ı, with, \', on top, end text, end color #1fab54 části vynásobené imaginární jednotkou i.
Psát čísla v tomto tvaru je velmi výhodné při sčítání a odčítání komplexních čísel.
Komplexní číslo v algebraickém tvaru také snadno zakreslíme do komplexní roviny. Reálná a imaginární část daného čísla jsou totiž jeho souřadnicemi na reálné a imaginární ose v tomto pořadí.
Chceš se o algebraickém tvaru komplexních čísel dozvědět víc? Podívej se na toto video o rovině komplexních čísel a na tohle video o sčítání a odčítání komplexních čísel.

Goniometrický tvar

start color #e07d10, r, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, plus, i, dot, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, right parenthesis
Goniometrický tvar zdůrazňuje geometrické vlastnosti komplexního čísla, konkrétně jeho start color #e07d10, start text, a, b, s, o, l, u, t, n, ı, with, \', on top, space, h, o, d, n, o, t, u, end text, end color #e07d10 (vzdálenost daného čísla od počátku v komplexní rovině) a start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #aa87ff (velikost úhlu, který svírá spojnice daného čísla a počátku v komplexní rovině s kladnou reálnou poloosou). Absolutní hodnotě se někdy říká start color #e07d10, start text, m, o, d, u, l, u, s, end text, end color #e07d10start color #aa87ff, start text, end text, end color #aa87ff.
Všimni si, že když v goniometrickém tvaru roznásobíme závorku, vyjde nám příslušný algebraický tvar:
start color #e07d10, r, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, plus, i, dot, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, right parenthesis, equals, start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #11accd, a, end color #11accd, end superscript, plus, start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #1fab54, b, end color #1fab54, end superscript, dot, i
Goniometrický tvar je velmi užitečný při násobení a dělení komplexních čísel. Například součin dvou komplexních čísel s absolutními hodnotami start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10 a start color #e07d10, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 a argumenty start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff a start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff je komplexní číslo s absolutní hodnotou start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 a argumentem start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, plus, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff. Více si o tom povíme v následující lekci.
Chceš se o goniometrickém tvaru komplexních čísel dozvědět víc? Podívej se na toto video.

Exponenciální tvar

start color #e07d10, r, end color #e07d10, dot, e, start superscript, i, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, end superscript
V exponenciálním tvaru komplexního čísla se vyskytují stejné atributy daného čísla jako ve tvaru goniometrickém, a to start color #e07d10, start text, a, b, s, o, l, u, t, n, ı, with, \', on top, space, h, o, d, n, o, t, a, end text, end color #e07d10 a start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #aa87ff. Jde jen o jiný a kratší zápis, se kterým se dobře pracuje. Například součin dvou komplexních čísel můžeme díky exponenciálnímu tvaru zapsat takto:
left parenthesis, start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, dot, e, start superscript, i, start color #9d38bd, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #9d38bd, end superscript, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #e07d10, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, dot, e, start superscript, i, start color #9d38bd, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #9d38bd, end superscript, right parenthesis, equals, start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, start color #e07d10, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, dot, e, start superscript, i, left parenthesis, start color #9d38bd, theta, start subscript, 1, end subscript, plus, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #9d38bd, right parenthesis, end superscript
Tento tvar využívá rozšířenou exponenciální funkci e, start superscript, z, end superscript definovanou pro libovolné komplexní číslo z. Přesné odůvodnění je poměrně složité, ale výsledný vztah je jednoduchý: pro libovolné reálné číslo x definujeme e, start superscript, i, x, end superscript jako cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
Užitím této definice dostáváme rovnost mezi exponenciálním a goniometrickým tvarem:
start color #e07d10, r, end color #e07d10, dot, e, start superscript, i, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, end superscript, equals, start color #e07d10, r, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, right parenthesis

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.