Hlavní obsah
Komplexní čísla
Kurz: Komplexní čísla > Kapitola 2
Lekce 5: Goniometrický tvar komplexních číselPřehled různých tvarů komplexního čísla
Osvěž si své znalosti o různých typech zápisu komplexních čísel - jejich algebraickém, goniometrickém a exponenciálním tvaru.
Jaké tvary komplexního číslo známe?
Algebraický | a, plus, b, i | |
Goniometrický | r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis | |
Exponenciální | r, dot, e, start superscript, i, theta, end superscript |
Algebraický tvar
Algebraický tvar komplexního čísla je součtem dvou čísel, a to jeho start color #11accd, start text, r, e, a, with, \', on top, l, n, e, with, \', on top, end text, end color #11accd části a jeho start color #1fab54, start text, i, m, a, g, i, n, a, with, \', on top, r, n, ı, with, \', on top, end text, end color #1fab54 části vynásobené imaginární jednotkou i.
Psát čísla v tomto tvaru je velmi výhodné při sčítání a odčítání komplexních čísel.
Komplexní číslo v algebraickém tvaru také snadno zakreslíme do komplexní roviny. Reálná a imaginární část daného čísla jsou totiž jeho souřadnicemi na reálné a imaginární ose v tomto pořadí.
Chceš se o algebraickém tvaru komplexních čísel dozvědět víc? Podívej se na toto video o rovině komplexních čísel a na tohle video o sčítání a odčítání komplexních čísel.
Goniometrický tvar
Goniometrický tvar zdůrazňuje geometrické vlastnosti komplexního čísla, konkrétně jeho start color #e07d10, start text, a, b, s, o, l, u, t, n, ı, with, \', on top, space, h, o, d, n, o, t, u, end text, end color #e07d10 (vzdálenost daného čísla od počátku v komplexní rovině) a start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #aa87ff (velikost úhlu, který svírá spojnice daného čísla a počátku v komplexní rovině s kladnou reálnou poloosou). Absolutní hodnotě se někdy říká start color #e07d10, start text, m, o, d, u, l, u, s, end text, end color #e07d10start color #aa87ff, start text, end text, end color #aa87ff.
Všimni si, že když v goniometrickém tvaru roznásobíme závorku, vyjde nám příslušný algebraický tvar:
Goniometrický tvar je velmi užitečný při násobení a dělení komplexních čísel. Například součin dvou komplexních čísel s absolutními hodnotami start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10 a start color #e07d10, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 a argumenty start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff a start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff je komplexní číslo s absolutní hodnotou start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 a argumentem start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, plus, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff. Více si o tom povíme v následující lekci.
Chceš se o goniometrickém tvaru komplexních čísel dozvědět víc? Podívej se na toto video.
Exponenciální tvar
V exponenciálním tvaru komplexního čísla se vyskytují stejné atributy daného čísla jako ve tvaru goniometrickém, a to start color #e07d10, start text, a, b, s, o, l, u, t, n, ı, with, \', on top, space, h, o, d, n, o, t, a, end text, end color #e07d10 a start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #aa87ff. Jde jen o jiný a kratší zápis, se kterým se dobře pracuje. Například součin dvou komplexních čísel můžeme díky exponenciálnímu tvaru zapsat takto:
Tento tvar využívá rozšířenou exponenciální funkci e, start superscript, z, end superscript definovanou pro libovolné komplexní číslo z. Přesné odůvodnění je poměrně složité, ale výsledný vztah je jednoduchý: pro libovolné reálné číslo x definujeme e, start superscript, i, x, end superscript jako cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
Užitím této definice dostáváme rovnost mezi exponenciálním a goniometrickým tvarem:
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.