Absolutní hodnota a argument komplexních čísel

Dnes se podíváme na různé způsoby, jak zapsat a graficky znázornit komplexní čísla. My už víme, že pro komplexní čísla obvykle používáme proměnnou z, a že komplexní číslo obvykle zapisujeme jako a plus bi, kde a je ta reálná část komplexního čísla a b je imaginární část. Také už jsme viděli, že když dostaneme tuto funkci, tak to znamená, že do ní vložíme naše komplexní číslo z a jako výstup bychom měli dostat tu reálnou část. To znamená a. A potom je tu ještě jedna funkce, tato. Do té opět dáme komplexní číslo, naše z, a opět dostaneme číslo reálné. Tentokrát ale to číslo, kterým násobíme imaginární jednotku i. Chceme tedy imaginární část, ale není to to celé bi, je to pouze to reálné číslo, kterým násobíme í. Tedy b. Formálně správně je imaginární část pouze b. Toto už pro nás není žádná novinka, to už všechno známe. Jak si můžeme komplexní čísla představit graficky? To už si určitě také pamatujete. Máme tady soustavu souřadnic. Ale ne tu klasickou, jakou známe, ale místo osy x máme osu reálnou, na kterou znázorňujeme reálnou část komplexního čísla. A místo osy y je imaginární osa, na kterou znázorňujeme imaginární část komplexního čísla. A my si to z, to komplexní číslo, můžeme představit jako nějaký bod v té soustavě. Nebo si ho můžeme znázornit jako polohový vektor. Hned si ukážeme, co tím mám na mysli. Máme tedy nějakou reálnou část a, ta může být třeba tady. A potom máme nějakou imaginární část b. Tak to bude třeba tady. Naše komplexní číslo z se tedy nachází tady, v bodě a, b. A my to tedy, jak už jsem řekla, můžeme znázornit i jako polohový vektor, který má počáteční bod v počátku soustavy souřadnic a koncový bod v tomto bodě a, b. Přesně takto. A když tady teď máme ten polohový vektor, možná by vás mohlo napadnout, že komplexní číslo nemusíme definovat jen pomocí čísel a a b, tedy reálné a imaginární části, ale také bychom si ho mohli vyjádřit pomocí nějakého úhlu a pomocí vzdálenosti od počátku. My si obvykle takový úhel pojmenováváme fí. To je ten úhel, který polohový vektor svírá s reálnou osou. A pak jsme mluvili o vzdálenosti od počátku a to většinou pojmenováváme jako r, což je vlastně délka této orientované úsečky. A pokud se bavíme o takovém znázornění, tak fí je takzvaný argument a r, ta vzdálenost, je absolutní hodnota komplexního čísla, tedy absolutní hodnota z. Takže jsme řekli, že r je absolutní hodnota ze z. A jak by se spočítala absolutní hodnota ze z? Tady nám vlastně vzniká takový pravoúhlý trojúhelník, jedna z jeho odvěsen je dlouhá a, tu máme tady. Druhá jeho odvěsen bude dlouhá b. No a tady máme tu přeponu, r, tu chceme vlastně spočítat. Takže na to jednoduše použijeme Pythagorovu větu, tedy že r na druhou se rovná a na druhou, jedna odvěsna na druhou, plus b na druhou, druhá odvěsna na druhou. A tedy r bude odmocnina z a na druhou plus b na druhou. Takže to je vlastně úplně jednoduché. A jak bychom si spočítali to fí? Tam nám opět pomohou věci, které už dávno známe a to goniometrické funkce. Máme tady pravoúhlý trojúhelník a u něj určitě bude platit co? Řekneme si. Bude u něj určitě platit, že sinus toho úhlu fí, tohoto úhlu, sinus je definovaný jako protilehlá odvěsna ku přeponě, tedy b ku r. Sinus fí je tedy b ku r. A úplně stejně u něj bude platit to, že kosinus toho úhlu fí, kosinus fí, kosinus je definovaný jako přilehlá odvěsna ku přeponě, tedy a ku r. Tyto dvě rovnice pro úhel fí určitě musí platit. No a teď musíme zjistit, které fí bude odpovídat oběma těmto vzorcům. A bude to docela jednoduché. Všechna čísla už budeme znát, b a a, to máme zadáno. A r si právě spočítáme z a a b. Takže to bude nějaké číslo, které už taky budeme znát. Důležité je také říct, že úhel fí je úhel orientovaný. Každé komplexní číslo bude mít tento úhel přesně definován a to těmito dvěma podmínkami. Těmito dvěma vzorci. Takže teď jsme si trošku ukázali, jak se dostat k těmto dvěma číslům. Jak se dostat k fí, k argumentu, a jak se dostat k r. A to pokud máme zadáno a a b, tedy komplexní číslo v tom klasickém tvaru a plus bi. Ale co by se stalo, kdybychom měli zadáno právě fí a právě r a z nich bychom naopak chtěli zjistit a a b, jak bychom to spočítali? Budeme postupovat přesně naopak, opět pomocí goniometrických funkcí. Pokud máme r a pokud máme fí, můžeme si tyto dva vzorečky upravit, r převedeme na druhou stranu, aby nám na pravých stranách zbylo vždycky b a a. Takže nejdřív v tomto vzorečku vynásobíme obě dvě strany rovnice r a dostaneme r krát sinus fí se rovná b. A i tady napravo, v tomto vzorečku, budeme obě dvě straně rovnice násobit r, tedy dostaneme r krát kosinus fí. To se bude rovnat a. Takže takhle jednoduché to bylo. Kdybychom měli zadáno fí a r, tak pomocí těchto dvou vzorečků můžeme opět spočítat zpátky a a b. Pojďme si teď zapsat komplexní číslo z, které máme normálně zadáno jako a plus bi, pomocí toho to, co nám tady vyšlo. Nejdřív tedy začnu z se rovná a plus bi, takto to známe normálně. A dál za a a b budeme dosazovat tyto hodnoty, tedy toto samé číslo z můžeme zapsat jako r krát kosinus fí plus b, což je r krát sinus fí krát i. A teď si určitě můžeme ještě vytknout r před závorku. Uvidíme, jestli nám to nějakým způsobem pomůže, r, v závorce bude kosinus fí, plus sinus fí i. Možná už vás něco napadá, ale možná také ne. A to nevadí, napovím. Tohle v závorce by vám mohlo, pokud jste se s tím někdy setkali, připomínat Eulerův vzorec. To už je docela pokročilá matematika. Ale můžete mi věřit, že tuto závorku můžeme přepsat jako r si opíšu, to zůstává, závorka bude e na i krát fí. Tuto celou závorku můžu zjednodušit na e na i krát fí. Takže tu pod sebou máme hned několik zápisů komplexního čísla. V tomto klasickém algebraické tvaru, to jak to známe, je to z se rovná a + bi, potom v goniometrickém tvaru, to je r krát kosinus fí plus sinus fí i. A potom v exponenciálním tvaru r krát e na i krát fí, tento poslední exponenciální tvar se nám bude hodit, když budeme hledat kořeny. A abychom si to rovnou vyzkoušeli a neříkali si tady něco jenom teoreticky. Pojďme si zkusit něco spočítat. Budeme mít zadáno nějaké z, komplexní číslo, které bude rovno odmocnina ze tří lomeno dvěma plus jedna polovina i. Z tohoto tvaru si chceme odvodit vzdálenost r, tedy absolutní hodnotu čísla z. A budeme chtít znát i fí. Takže jak na to? R bude jednoduché, to už známe. R se rovná absolutní hodnota ze z. A absolutní hodnota ze z je odmocnina z a na druhou plus b na druhou podle Pythagorovy věty. A na druhou, a na druhou je odmocnina ze tří na druhou, to je 3, lomeno dvěma na druhou, to je čtyři. Takže tři čtvrtiny. Plus b na druhou. Jedna na druhou je jedna a dva na druhou je čtyři, takže jedna čtvrtina plus jedna čtvrtina, tři čtvrtiny plus jedna čtvrtina je jedna. Celé to tedy je odmocnina z jedné. A to je zkrátka jedna. Naše r je tedy rovno jedné. Pojďme si to teď zakreslit do naší komplexní roviny. Vše bude v prvním kvadrantu a vše bude menší než 1. Tak to teď udělejme takto. Jedna polovina bude tady. Tady bude jednička a tady bude taky jednička, a je tedy odmocnina ze tří lomeno dvěma, odmocnina ze tří, to je trochu méně než 2, zhruba 1,75, když to vydělíme dvěma, to máme zhruba 0,9, velice přibližně, o něco méně, takže někde tady bude naše a, b vidíme, že je jedna polovina, takže to je jednoduché. To je přímo tady náš bod z, je tedy asi zhruba tady. A ještě si načrtneme polohový vektor. Výborně. Toto je vzdálenost r, o které už víme, že je jedna. Takže si to rovnou tady můžeme napsat. To je jednička. A teď abychom zjistili fí, tak opět využijeme Pythagorovu větu. Musíme si představit ty dvě strany. Toto je a a toto je b. Chceme znát úhel fí, takže si pojďme napsat, co pro fí bude platit. Víme určitě, že bude platit, že sinus fí, sinus je definován jako protilehlá odvěsna ku přeponě. V tomto případě b ku r. A co víme? Víme, že b je jedna polovina a r jsme si spočítali jako jedna, tedy jedna polovina lomeno jednou, což se rovná jedna polovina, výborně. A teď kosinus fí, pro ten bude platit, že je roven přilehlé odvěsně ku přeponě, tedy a lomeno r, a víme, že je odmocnina ze tří lomeno dvěma. A r víme, že je jedna. Tedy kosinus fí se musí rovnat odmocnině ze tří lomeno dvěma. Teď se podíváme, pro jaké úhly fí budou tyto dvě rovnice, tyto podmínky platit. Kdy je sinus fí roven jedné polovině. Možná to znáte z hlavy a vybaví se vám, že jedno z řešení je 30 stupňů neboli pí šestin. Načrtla jsem tady sinusoidu, abychom si to lépe dokázali představit. Tedy pí šestin, bude to někde tady. Tím ale nekončíme. Sinusoida se nám v nejbližším bodě obrací a hodnoty jedna polovina nabývá ještě také při sto padesáti stupních neboli pět pí šestin. Dál už by nám ale sinus vycházel záporný, tedy ne kladných půl. Takže pokud budeme hledat řešení v intervalu 0 až dvě pí, vychází nám, že úhel fí může být buď pí šestin nebo 5 pí šestin. Tak, to bychom měli první rovnici, první podmínku, a jdeme na druhou. Kosinus, kdy je kosinus roven odmocnině ze tří lomeno dvěma. Opět je to tabulková hodnota, jedno z řešení je 30 stupňů neboli pí šestin, ale zase to není všechno. Když si představíte křivku kosinu na intervalu 0 až dvě pí, je ještě jedno řešení a to je 11 pí šestin. Můžeme si tedy napsat, že z této druhé rovnice vyplývá, že fí může být buď pí šestin nebo 11 pí šestin. Každé komplexní číslo má ale pouze jeden jediný úhel fí, který ho přesně definuje. A protože úhel pí šestin splňuje obě dvě naše podmínky, je průnikem řešení obou rovnic, které jsme spočetli. Pak je pí šestin náš hledaný argument a to na našem intervalu, který jsme zmiňovali tady, tedy 0 až 2 pí. A teď ještě rychlá kontrola. Pí šestin je 30 stupňů. Tedy naše komplexní číslo by mělo být v prvním kvadrantu a to odpovídá i znázornění, které jsme si nakreslili pomocí algebraického tvaru. Pokud bychom ale za argument dosadili pět pí šestin, znamenalo by to, že by komplexní číslo mělo ležet ne v prvním kvadrantu, ale v druhém kvadrantu. Řešení 11 pí šestin by zase znamenalo, že komplexní číslo leží ve čtvrtém kvadrantu, tedy také ne v prvním kvadrantu. Ani jedno z toho ale není pravda. Naše komplexní číslo leží v prvním kvadrantu. Ukázali jsme si tedy, že jediné správné řešení na tomto intervalu 0 až dvě pí je pí šestin, protože splňuje obě dvě naše podmínky, jiné argumenty by byly nesprávné. Naše komplexní číslo si tedy můžeme zapsat v goniometrickém tvaru. Můžeme si ho zapsat jako z se rovná r, což je jedna, takže to psát nemusíme, krát kosinus argumentu, tedy kosinus pí šestin, plus i krát sinus argumentu, tedy sinus pí šestin. A teď vám ještě prozradím takový malý tríček. Když víme, že to naše komplexní číslo bude v prvním nebo ve čtvrtém kvadrantu, to znamená že a bude kladné, reálná část bude kladná, pak bude platit i vzoreček tangens fí se rovná b lomeno a, takže pro výpočet úhlu fí už nebudu potřebovat mít spočítané r, ale rovnou ho budu moct odvodit z hodnot a a b. Ale pozor, to platí jenom pro a, které bude větší než 0, pro tu pravou část soustavy. Vždycky ale bude lepší použít obě podmínky současně, jak sinus tak kosinus, tak budete mít zaručeno, že se vždy dostanete ke správnému výsledku, ke správnému argumentu. No a teď pojďme do finále. Pojďme si to naše komplexní číslo z napsat v exponenciálním tvaru. Exponenciální tvar víme, že vypadá jako r krát e na i krát fí. A tedy když dosadíme naše hodnoty, r víme, že je jednička tak to vůbec nemusíme psát. Takže to bude e, fí víme, že je pí šestin, takže na pí šestin i, z se rovná e na pí šestin i. Takže komplexní číslo, které jsme dostali zadané v algebraickém tvaru, jsme si teď napsali v goniometrickém tvaru a v exponenciálním tvaru.