Hlavní obsah
Komplexní čísla
Kurz: Komplexní čísla > Kapitola 2
Lekce 4: Absolutní hodnota a argument komplexních číselAbsolutní hodnota a argument komplexních čísel
Ve videu určíme absolutní hodnotu a argument čísla √3/2+(1/2)*i. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Dnes se podíváme na různé
způsoby, jak zapsat a graficky znázornit komplexní čísla. My
už víme, že pro komplexní čísla obvykle používáme
proměnnou z, a že komplexní číslo obvykle zapisujeme
jako a plus bi, kde a je ta reálná část
komplexního čísla a b je imaginární část. Také už jsme viděli, že když
dostaneme tuto funkci, tak to znamená, že do ní vložíme naše
komplexní číslo z a jako výstup bychom měli dostat tu
reálnou část. To znamená a. A potom je tu ještě jedna
funkce, tato. Do té opět dáme komplexní číslo, naše z, a opět
dostaneme číslo reálné. Tentokrát ale to číslo, kterým
násobíme imaginární jednotku i. Chceme tedy imaginární část,
ale není to to celé bi, je to pouze to reálné číslo, kterým
násobíme í. Tedy b. Formálně správně je imaginární část
pouze b. Toto už pro nás není žádná
novinka, to už všechno známe. Jak si můžeme
komplexní čísla představit graficky? To už si určitě
také pamatujete. Máme tady soustavu souřadnic. Ale ne tu
klasickou, jakou známe, ale místo osy x máme osu reálnou,
na kterou znázorňujeme reálnou část komplexního
čísla. A místo osy y je imaginární osa, na kterou
znázorňujeme imaginární část komplexního čísla. A my si to
z, to komplexní číslo, můžeme představit jako nějaký bod v
té soustavě. Nebo si ho můžeme znázornit jako polohový
vektor. Hned si ukážeme, co tím mám na mysli. Máme tedy
nějakou reálnou část a, ta může být třeba tady. A potom
máme nějakou imaginární část b. Tak to bude třeba tady. Naše
komplexní číslo z se tedy nachází tady, v bodě a, b. A my
to tedy, jak už jsem řekla, můžeme znázornit i jako
polohový vektor, který má počáteční bod v počátku soustavy
souřadnic a koncový bod v tomto bodě a, b. Přesně takto. A když tady teď
máme ten polohový vektor, možná by vás mohlo napadnout,
že komplexní číslo nemusíme definovat jen pomocí čísel a a b,
tedy reálné a imaginární části, ale také bychom si ho
mohli vyjádřit pomocí nějakého úhlu a pomocí
vzdálenosti od počátku. My si obvykle takový úhel
pojmenováváme fí. To je ten úhel, který polohový vektor
svírá s reálnou osou. A pak jsme mluvili o vzdálenosti od
počátku a to většinou pojmenováváme jako r, což je
vlastně délka této orientované úsečky. A pokud
se bavíme o takovém znázornění, tak fí je takzvaný
argument a r, ta vzdálenost, je absolutní
hodnota komplexního čísla, tedy absolutní hodnota z.
Takže jsme řekli, že r je absolutní hodnota ze z. A jak
by se spočítala absolutní hodnota ze z? Tady nám
vlastně vzniká takový pravoúhlý trojúhelník, jedna z jeho
odvěsen je dlouhá a, tu máme tady. Druhá jeho odvěsen
bude dlouhá b. No a tady máme tu přeponu,
r, tu chceme vlastně spočítat. Takže na to jednoduše
použijeme Pythagorovu větu, tedy že r na druhou se rovná
a na druhou, jedna odvěsna na druhou, plus b na druhou, druhá
odvěsna na druhou. A tedy r bude odmocnina z a na
druhou plus b na druhou. Takže to je vlastně úplně
jednoduché. A jak bychom si spočítali to fí? Tam nám opět
pomohou věci, které už dávno známe a to goniometrické
funkce. Máme tady pravoúhlý trojúhelník a u něj určitě
bude platit co? Řekneme si. Bude u něj určitě platit, že
sinus toho úhlu fí, tohoto úhlu, sinus je
definovaný jako protilehlá odvěsna ku přeponě, tedy b ku
r. Sinus fí je tedy b ku r. A úplně stejně u něj bude
platit to, že kosinus toho úhlu fí, kosinus fí, kosinus je
definovaný jako přilehlá odvěsna ku přeponě,
tedy a ku r. Tyto dvě rovnice pro úhel fí
určitě musí platit. No a teď musíme zjistit, které
fí bude odpovídat oběma těmto vzorcům. A bude to docela
jednoduché. Všechna čísla už budeme znát, b a a, to máme
zadáno. A r si právě spočítáme z a a b. Takže to bude nějaké číslo,
které už taky budeme znát. Důležité je také říct, že úhel fí je úhel
orientovaný. Každé komplexní číslo bude
mít tento úhel přesně definován a to těmito dvěma
podmínkami. Těmito dvěma vzorci. Takže teď jsme si
trošku ukázali, jak se dostat k těmto dvěma číslům. Jak se dostat k fí, k
argumentu, a jak se dostat k r. A to pokud máme zadáno a a
b, tedy komplexní číslo v tom klasickém tvaru a plus bi. Ale co by se stalo, kdybychom
měli zadáno právě fí a právě r a z nich bychom naopak
chtěli zjistit a a b, jak bychom to spočítali? Budeme
postupovat přesně naopak, opět pomocí goniometrických funkcí.
Pokud máme r a pokud máme fí, můžeme si tyto dva vzorečky
upravit, r převedeme na druhou stranu, aby nám na
pravých stranách zbylo vždycky b a a. Takže nejdřív v tomto
vzorečku vynásobíme obě dvě strany rovnice r a
dostaneme r krát sinus fí se rovná b. A i tady napravo, v
tomto vzorečku, budeme obě dvě straně rovnice násobit
r, tedy dostaneme r krát kosinus fí. To se bude rovnat
a. Takže takhle jednoduché to
bylo. Kdybychom měli zadáno fí a r, tak pomocí těchto
dvou vzorečků můžeme opět spočítat zpátky a a b. Pojďme si teď zapsat
komplexní číslo z, které máme normálně zadáno jako a plus bi,
pomocí toho to, co nám tady vyšlo. Nejdřív tedy začnu z
se rovná a plus bi, takto to známe normálně. A
dál za a a b budeme dosazovat tyto hodnoty, tedy toto samé
číslo z můžeme zapsat jako r krát kosinus fí plus b,
což je r krát sinus fí krát i. A teď si
určitě můžeme ještě vytknout r před závorku. Uvidíme, jestli nám to nějakým
způsobem pomůže, r, v závorce bude kosinus fí, plus
sinus fí i. Možná už vás něco napadá, ale
možná také ne. A to nevadí, napovím. Tohle v závorce by vám
mohlo, pokud jste se s tím někdy setkali, připomínat
Eulerův vzorec. To už je docela pokročilá matematika. Ale můžete mi věřit, že tuto
závorku můžeme přepsat jako r si opíšu, to zůstává,
závorka bude e na i krát fí. Tuto celou závorku
můžu zjednodušit na e na i krát fí. Takže tu pod sebou
máme hned několik zápisů komplexního čísla. V tomto
klasickém algebraické tvaru, to jak to známe, je to z se
rovná a + bi, potom v goniometrickém tvaru, to je r
krát kosinus fí plus sinus fí i. A potom v exponenciálním
tvaru r krát e na i krát fí, tento poslední
exponenciální tvar se nám bude hodit, když budeme hledat
kořeny. A abychom si to rovnou vyzkoušeli a neříkali si tady
něco jenom teoreticky. Pojďme si zkusit něco spočítat.
Budeme mít zadáno nějaké z, komplexní číslo, které bude
rovno odmocnina ze tří lomeno dvěma plus jedna polovina i. Z
tohoto tvaru si chceme odvodit vzdálenost r,
tedy absolutní hodnotu čísla z. A budeme chtít znát i fí. Takže jak na to? R bude
jednoduché, to už známe. R se rovná absolutní hodnota
ze z. A absolutní hodnota ze z je odmocnina z a na druhou
plus b na druhou podle Pythagorovy věty. A na druhou, a na
druhou je odmocnina ze tří na druhou, to je 3, lomeno dvěma
na druhou, to je čtyři. Takže tři čtvrtiny. Plus b na
druhou. Jedna na druhou je jedna a
dva na druhou je čtyři, takže jedna čtvrtina plus jedna
čtvrtina, tři čtvrtiny plus jedna čtvrtina je jedna. Celé
to tedy je odmocnina z jedné. A to je zkrátka jedna.
Naše r je tedy rovno jedné. Pojďme
si to teď zakreslit do naší komplexní roviny. Vše bude v
prvním kvadrantu a vše bude menší než 1. Tak to teď udělejme takto.
Jedna polovina bude tady. Tady bude jednička a tady
bude taky jednička, a je tedy odmocnina ze tří lomeno dvěma,
odmocnina ze tří, to je trochu méně než 2,
zhruba 1,75, když to vydělíme dvěma, to máme zhruba 0,9,
velice přibližně, o něco méně, takže někde tady bude naše a,
b vidíme, že je jedna polovina, takže to
je jednoduché. To je přímo tady náš bod z, je tedy asi
zhruba tady. A ještě si načrtneme
polohový vektor. Výborně. Toto je vzdálenost r, o které
už víme, že je jedna. Takže si to rovnou tady můžeme napsat.
To je jednička. A teď abychom zjistili fí, tak opět
využijeme Pythagorovu větu. Musíme si představit ty dvě
strany. Toto je a a toto je b. Chceme znát úhel fí,
takže si pojďme napsat, co pro fí bude platit. Víme
určitě, že bude platit, že sinus fí, sinus je definován
jako protilehlá odvěsna ku přeponě. V tomto případě b ku
r. A co víme? Víme, že b je jedna polovina a r jsme
si spočítali jako jedna, tedy jedna polovina lomeno jednou, což se
rovná jedna polovina, výborně. A teď kosinus fí, pro ten
bude platit, že je roven přilehlé odvěsně ku přeponě,
tedy a lomeno r, a víme, že je odmocnina ze tří lomeno dvěma. A r víme, že je jedna. Tedy kosinus
fí se musí rovnat odmocnině ze tří lomeno dvěma. Teď se podíváme, pro jaké úhly
fí budou tyto dvě rovnice, tyto podmínky platit. Kdy je
sinus fí roven jedné polovině. Možná to znáte z
hlavy a vybaví se vám, že jedno z řešení je 30 stupňů
neboli pí šestin. Načrtla jsem tady sinusoidu,
abychom si to lépe dokázali představit. Tedy pí šestin,
bude to někde tady. Tím ale nekončíme. Sinusoida se nám
v nejbližším bodě obrací a hodnoty jedna polovina nabývá
ještě také při sto padesáti stupních neboli pět pí šestin.
Dál už by nám ale sinus vycházel záporný, tedy ne
kladných půl. Takže pokud budeme hledat řešení v
intervalu 0 až dvě pí, vychází nám, že úhel fí může být buď
pí šestin nebo 5 pí šestin. Tak, to bychom měli
první rovnici, první podmínku, a jdeme na druhou. Kosinus,
kdy je kosinus roven odmocnině ze tří lomeno dvěma.
Opět je to tabulková hodnota, jedno z řešení je 30 stupňů
neboli pí šestin, ale zase to není všechno. Když si
představíte křivku kosinu na intervalu 0 až dvě pí, je
ještě jedno řešení a to je 11 pí šestin. Můžeme si tedy napsat,
že z této druhé rovnice vyplývá, že fí může být buď pí
šestin nebo 11 pí šestin. Každé komplexní číslo má ale
pouze jeden jediný úhel fí, který ho přesně definuje. A
protože úhel pí šestin splňuje obě dvě naše
podmínky, je průnikem řešení obou
rovnic, které jsme spočetli. Pak je pí šestin náš hledaný
argument a to na našem intervalu, který jsme
zmiňovali tady, tedy 0 až 2 pí. A teď ještě rychlá kontrola.
Pí šestin je 30 stupňů. Tedy naše komplexní číslo by
mělo být v prvním kvadrantu a to odpovídá i znázornění,
které jsme si nakreslili pomocí algebraického tvaru.
Pokud bychom ale za argument dosadili pět pí šestin,
znamenalo by to, že by komplexní číslo mělo ležet ne
v prvním kvadrantu, ale v druhém kvadrantu. Řešení 11
pí šestin by zase znamenalo, že komplexní číslo leží ve
čtvrtém kvadrantu, tedy také ne v prvním kvadrantu. Ani
jedno z toho ale není pravda. Naše komplexní číslo leží v
prvním kvadrantu. Ukázali jsme si tedy, že jediné
správné řešení na tomto intervalu 0 až dvě pí je pí šestin,
protože splňuje obě dvě naše podmínky, jiné argumenty
by byly nesprávné. Naše komplexní číslo si tedy
můžeme zapsat v goniometrickém tvaru. Můžeme si
ho zapsat jako z se rovná r, což je jedna, takže to psát
nemusíme, krát kosinus argumentu, tedy
kosinus pí šestin, plus i krát sinus argumentu, tedy
sinus pí šestin. A teď vám ještě prozradím
takový malý tríček. Když víme, že to naše komplexní číslo bude v prvním nebo ve čtvrtém
kvadrantu, to znamená že a bude kladné, reálná část bude kladná, pak
bude platit i vzoreček tangens fí se rovná b lomeno a, takže
pro výpočet úhlu fí už nebudu
potřebovat mít spočítané r, ale rovnou ho budu moct
odvodit z hodnot a a b. Ale pozor, to platí jenom pro a,
které bude větší než 0, pro tu pravou část soustavy.
Vždycky ale bude lepší použít obě
podmínky současně, jak sinus tak kosinus, tak budete mít
zaručeno, že se vždy dostanete ke správnému výsledku, ke
správnému argumentu. No a teď pojďme do finále.
Pojďme si to naše komplexní číslo z napsat v
exponenciálním tvaru. Exponenciální tvar víme, že
vypadá jako r krát e na i krát fí. A tedy když
dosadíme naše hodnoty, r víme, že je jednička tak to vůbec
nemusíme psát. Takže to bude e, fí víme, že je pí šestin,
takže na pí šestin i, z se rovná e na pí šestin i. Takže komplexní číslo, které
jsme dostali zadané v algebraickém tvaru, jsme si
teď napsali v goniometrickém tvaru a v exponenciálním tvaru.