Hlavní obsah
Komplexní čísla
Kurz: Komplexní čísla > Kapitola 2
Lekce 4: Absolutní hodnota a argument komplexních číselAbsolutní hodnota a argument komplexních čísel - přehled
Osvěž si své znalosti o absolutní hodnotě a argumentu komplexních čísel včetně toho, jak tyto údaje zjistit z algebraického tvaru komplexního čísla a naopak.
Absolutní hodnota čísla a, plus, b, i | \mid, z, \mid, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root | |
Argument čísla a, plus, b, i - neboli úhel θ, který se při kladné reálné části může zrychleně vypočítat pomocí arkus tangens, obecně musí splňovat obě rovnosti pro arkus sinus a arkus kosinus: | θ, equals, a, r, c, c, o, s, left parenthesis, a, slash, ∣, z, ∣, right parenthesis | |
Algebraický tvar čísla a, plus, b, i zapsaný pomocí jeho absolutní hodnoty r a argumentu theta | r, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, r, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, dot, i |
Co jsou absolutní hodnota a argument komplexního čísla?
Komplexní čísla jsme zvyklí psát v jejich algebraickém tvaru, ze kterého snadno poznáme jejich start color #11accd, start text, r, e, a, with, \', on top, l, n, o, u, end text, end color #11accd a start color #1fab54, start text, i, m, a, g, i, n, a, with, \', on top, r, n, ı, with, \', on top, end text, end color #1fab54 část. Například start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i je číslo zapsané v algebraickém tvaru.
Pomocí jejich reálné a imaginární části pak komplexní čísla zakreslujeme do komplexní roviny:
Je ale ještě jiný způsob, jak bychom komplexní číslo mohli jednoznačně popsat, a to pomocí jeho start color #e07d10, start text, a, b, s, o, l, u, t, n, ı, with, \', on top, space, h, o, d, n, o, t, y, space, end text, end color #e07d10 a velikosti následujícího orientovaného start color #aa87ff, start text, u, with, \', on top, h, l, u, end text, end color #aa87ff v komplexní rovině:
start color #e07d10, start text, A, b, s, o, l, u, t, n, ı, with, \', on top, space, h, o, d, n, o, t, a, end text, end color #e07d10 komplexního čísla, někdy také nazývaná start color #e07d10, start text, m, o, d, u, l, u, s, end text, end color #e07d10, udává vzdálenost daného čísla od počátku v komplexní rovině, zatímco jehostart color #aa87ff, start text, end text, end color #aa87ff start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #aa87ff je velikost orientovaného úhlu, který svírá spojnice daného čísla a počátku s kladnou reálnou poloosou. Jako počáteční rameno tohoto úhlu bereme vždy kladnou reálnou poloosu.
Absolutní hodnotu komplexního čísla z zapisujeme stejně jako absolutní hodnotu reálného čísla, tedy vertical bar, z, vertical bar.
Chceš se o absolutní hodnotě a argumentu komplexních čísel dozvědět víc? Podívej se na toto video.
Sada příkladů 1: Určení absolutní hodnoty
Absolutní hodnota komplexního čísla je rovna druhé odmocnině ze součtu druhých mocnin jeho reálné a imaginární části (jde o přímý důsledek Pythagorovy věty):
Například absolutní hodnota čísla start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i je square root of, start color #11accd, 3, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.
Sada příkladů 2: Určení argumentu
Argument daného komplexního čísla můžeme spočítat jako arkus tangens (inverzní tangens), pokud je reálná část kladná. V každém jiném případě je nutné využít obou vztahů s arkus sinem a arkus kosinem:
Tyto vztahy platí díky trigonometrickým identitám v pravoúhlém trojúhelníku, jehož vrcholy jsou počátek (bod open bracket, 0, ;, 0, close bracket), dané komplexní číslo v komplexní rovině (bod open bracket, a, ;, b, close bracket) a jeho reálná část zakreslená na reálné ose (bod open bracket, a, ;, 0, close bracket).
Příklad 1: start text, I, point, end text kvadrant - reálná část je kladná
Zkusme určit argument čísla start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i na intervalu od -180° do 180° včetně:
Příklad 2: start text, I, I, point, end text kvadrant - reálná část je záporná
Zkusme určit argument čísla start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i na intervalu od -180° do 180° včetně. Nejprve si všimněme, že číslo start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i je v komplexní rovině ve start text, I, I, point, end text kvadrantu. Obě následující rovnice budou mít dvě řešení, nás ale bude zajímat a uvedeme pouze společnou hodnotu v daném kvadrantu. Absolutní hodnota zadaného čísla, kterou už hravě zvládneme vypočítat, je 5.
Pokud bychom to počítali pomocí arkus tangens, vyšlo by nám minus, 53, degrees, tedy hodnota ve start text, I, V, point, end text kvadrantu a ne ve start text, I, I, point, end text kvadrantu. Zde čtenáře upozorňujeme, že se lze setkat s ne vždy spolehlivou taktikou, při které se k výsledku přičte úhel 180, degrees, čímž dostaneme příslušný vedlejší úhel ve start text, I, I, point, end text kvadrantu:
Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.
Sada příkladů 3: Určení algebraického tvaru čísla z jeho absolutní hodnoty a argumentu
Reálnou a imaginární část daného komplexního čísla z jeho absolutní hodnoty a argumentu určíme tak, že absolutní hodnotu vynásobíme zvlášť kosinem (tím dostaneme reálnou část) a zvlášť sinem (tím dostaneme imaginární část) argumentu:
Tyto vztahy platí díky trigonometrickým identitám v pravoúhlém trojúhelníku, jehož vrcholy jsou počátek (bod open bracket, 0, ;, 0, close bracket), dané komplexní číslo v komplexní rovině (bod open bracket, a, ;, b, close bracket) a jeho reálná část zakreslená na reálné ose (bod open bracket, a, ;, 0, close bracket).
Například komplexní číslo s absolutní hodnotou start color #e07d10, 2, end color #e07d10 a argumentem start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff má tento algebraický tvar:
Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Zkus toto cvičení.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.