If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Absolutní hodnota a argument komplexních čísel - přehled

Osvěž si své znalosti o absolutní hodnotě a argumentu komplexních čísel včetně toho, jak tyto údaje zjistit z algebraického tvaru komplexního čísla a naopak.
Absolutní hodnota čísla a, plus, b, i\mid, z, \mid, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root
Argument čísla a, plus, b, i - neboli úhel θ, který se při kladné reálné části může zrychleně vypočítat pomocí arkus tangens, obecně musí splňovat obě rovnosti pro arkus sinus a arkus kosinus:θ=arctg(ba)a>0,θ=arcsin(b/z)\theta=\operatorname{arctg}\left(\dfrac{b}{a}\right) a>0,\\ θ={arcsin}({b}/∣z∣) θ, equals, a, r, c, c, o, s, left parenthesis, a, slash, ∣, z, ∣, right parenthesis
Algebraický tvar čísla a, plus, b, i zapsaný pomocí jeho absolutní hodnoty r a argumentu thetar, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, r, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, dot, i

Co jsou absolutní hodnota a argument komplexního čísla?

Komplexní čísla jsme zvyklí psát v jejich algebraickém tvaru, ze kterého snadno poznáme jejich start color #11accd, start text, r, e, a, with, \', on top, l, n, o, u, end text, end color #11accd a start color #1fab54, start text, i, m, a, g, i, n, a, with, \', on top, r, n, ı, with, \', on top, end text, end color #1fab54 část. Například start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i je číslo zapsané v algebraickém tvaru.
Pomocí jejich reálné a imaginární části pak komplexní čísla zakreslujeme do komplexní roviny:
Je ale ještě jiný způsob, jak bychom komplexní číslo mohli jednoznačně popsat, a to pomocí jeho start color #e07d10, start text, a, b, s, o, l, u, t, n, ı, with, \', on top, space, h, o, d, n, o, t, y, space, end text, end color #e07d10 a velikosti následujícího orientovaného start color #aa87ff, start text, u, with, \', on top, h, l, u, end text, end color #aa87ff v komplexní rovině:
start color #e07d10, start text, A, b, s, o, l, u, t, n, ı, with, \', on top, space, h, o, d, n, o, t, a, end text, end color #e07d10 komplexního čísla, někdy také nazývaná start color #e07d10, start text, m, o, d, u, l, u, s, end text, end color #e07d10, udává vzdálenost daného čísla od počátku v komplexní rovině, zatímco jehostart color #aa87ff, start text, end text, end color #aa87ff start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, end text, end color #aa87ff je velikost orientovaného úhlu, který svírá spojnice daného čísla a počátku s kladnou reálnou poloosou. Jako počáteční rameno tohoto úhlu bereme vždy kladnou reálnou poloosu.
Absolutní hodnotu komplexního čísla z zapisujeme stejně jako absolutní hodnotu reálného čísla, tedy vertical bar, z, vertical bar.
Chceš se o absolutní hodnotě a argumentu komplexních čísel dozvědět víc? Podívej se na toto video.

Sada příkladů 1: Určení absolutní hodnoty

Absolutní hodnota komplexního čísla je rovna druhé odmocnině ze součtu druhých mocnin jeho reálné a imaginární části (jde o přímý důsledek Pythagorovy věty):
vertical bar, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, i, vertical bar, equals, square root of, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, end square root
Například absolutní hodnota čísla start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i je square root of, start color #11accd, 3, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
Příklad 1.1
vertical bar, 3, plus, 7, i, vertical bar, equals

Uveď přesný výsledek.

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.

Sada příkladů 2: Určení argumentu

Argument daného komplexního čísla můžeme spočítat jako arkus tangens (inverzní tangens), pokud je reálná část kladná. V každém jiném případě je nutné využít obou vztahů s arkus sinem a arkus kosinem:
θ=arctg(ba)pokud  a>0,obecneˇ:θ=arcsin(b/z)θ=arccos(a/z)\theta=\operatorname{arctg}\left(\dfrac{\greenD b}{\blueD a}\right) pokud{~~} a > 0, \\ obecně:\\θ={arcsin}({b}/{|z|}) \\θ={arccos}({a}/{|z|})
Tyto vztahy platí díky trigonometrickým identitám v pravoúhlém trojúhelníku, jehož vrcholy jsou počátek (bod open bracket, 0, ;, 0, close bracket), dané komplexní číslo v komplexní rovině (bod open bracket, a, ;, b, close bracket) a jeho reálná část zakreslená na reálné ose (bod open bracket, a, ;, 0, close bracket).

Příklad 1: start text, I, point, end text kvadrant - reálná část je kladná

Zkusme určit argument čísla start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i na intervalu od -180° do 180° včetně:
a, r, c, t, g, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 53, degrees

Příklad 2: start text, I, I, point, end text kvadrant - reálná část je záporná

Zkusme určit argument čísla start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i na intervalu od -180° do 180° včetně. Nejprve si všimněme, že číslo start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i je v komplexní rovině ve start text, I, I, point, end text kvadrantu. Obě následující rovnice budou mít dvě řešení, nás ale bude zajímat a uvedeme pouze společnou hodnotu v daném kvadrantu. Absolutní hodnota zadaného čísla, kterou už hravě zvládneme vypočítat, je 5.
θ=arcsin(45)127°θ=arccos(3/5)127θ=\operatorname{arcsin}\left(\dfrac{\greenD4}{{5}}\right)\approx127° \\θ={arccos}(\blueD{-3}/{5})≈127^\circ
Pokud bychom to počítali pomocí arkus tangens, vyšlo by nám minus, 53, degrees, tedy hodnota ve start text, I, V, point, end text kvadrantu a ne ve start text, I, I, point, end text kvadrantu. Zde čtenáře upozorňujeme, že se lze setkat s ne vždy spolehlivou taktikou, při které se k výsledku přičte úhel 180, degrees, čímž dostaneme příslušný vedlejší úhel ve start text, I, I, point, end text kvadrantu:
minus, 53, degrees, plus, 180, degrees, equals, 127, degrees
Příklad 2.1
z, equals, 1, plus, 4, i
theta, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Pokud bude třeba, zaokrouhli svou odpověď na desetiny. theta vyjádři mezi minus, 180, degrees a 180, degrees.

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Podívej se na toto cvičení.

Sada příkladů 3: Určení algebraického tvaru čísla z jeho absolutní hodnoty a argumentu

Reálnou a imaginární část daného komplexního čísla z jeho absolutní hodnoty a argumentu určíme tak, že absolutní hodnotu vynásobíme zvlášť kosinem (tím dostaneme reálnou část) a zvlášť sinem (tím dostaneme imaginární část) argumentu:
start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #11accd, a, end color #11accd, end superscript, plus, start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #1fab54, b, end color #1fab54, end superscript, dot, i
Tyto vztahy platí díky trigonometrickým identitám v pravoúhlém trojúhelníku, jehož vrcholy jsou počátek (bod open bracket, 0, ;, 0, close bracket), dané komplexní číslo v komplexní rovině (bod open bracket, a, ;, b, close bracket) a jeho reálná část zakreslená na reálné ose (bod open bracket, a, ;, 0, close bracket).
Například komplexní číslo s absolutní hodnotou start color #e07d10, 2, end color #e07d10 a argumentem start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff má tento algebraický tvar:
start color #e07d10, 2, end color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis, plus, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis, i, equals, start color #11accd, square root of, 3, end square root, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, i
Příklad 3.1
vertical bar, z, start subscript, 1, end subscript, vertical bar, equals, 3 a theta, start subscript, 1, end subscript, equals, 20, degrees
z, start subscript, 1, end subscript, equals
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
+
  • Odpověď má být
  • celé číslo, například 6
  • pravý zlomek v základním tvaru, například 3, slash, 5
  • nepravý zlomek v základním tvaru, například 7, slash, 4
  • smíšené číslo, například 1, space, 3, slash, 4
  • desetinné číslo, například 0,75
  • násobek čísla pi, například 12, space, start text, p, i, end text or 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
i
Výsledná čísla zaokrouhli na tisíciny.

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Zkus toto cvičení.