Určitý integrál: obracené pravidlo pro derivaci mocniny

Zkusme vypočítat určitý integrál od minus 3 do 5 výrazu 4dx. Čemu se to bude rovnat? Zkuste zastavit video a vypočítat si to. Vzpomeňme si na F.T.O.C., neboli základní větu integrálního počtu. Ta spojuje určitý integrál s jeho primitivní funkcí. F.T.O.C. říká, že integrál v intervalu "a" až "b" funkce f(x)dx se rovná primitivní funkci...značíme velkým F... ohodnocené na "b" minus na "a". To přesně uděláme s naším integrálem. Co je primitivní funkce 4? Můžete rovnou říct, že to je 4x. Můžete použít obrácenou derivaci mocniny. 4 je jako 4x na nultou. Zvýšíte 0 o 1 a 4x vydělíte získaným exponentem. 4x na prvou děleno 1 se rovná 4x. Primitivní funkce je tedy 4x. Tu ohodnotíme na 5 a na -3 a zjistíme rozdíl mezi těmito dvěma. Ohodnotíme primitivní funkci pro její horní mez, to je 4 krát 5. Od toho odečteme primitivní funkci ohodnocenou na její dolní mezi. To je 4 krát -3. Celé se to bude rovnat 20 minus -12. To je 20 + 12. Takže se to rovná 32. Zkusíme další příklad. Chceme vypočítat určitý integrál od -1 do 3 funkce 7x na druhou dx. Co je primitivní funkce tohoto výrazu? Můžeme se také zeptat, co je F(x). Použijeme pravidlo integrálu mocniny. Zvýšíme exponent o 1, což je 7x na třetí. Pak vydělíme zvýšeným exponentem a máme 7 krát x na 3, to celé děleno 3. To ohodnotíme na horním limitu a odečteme ohodnocené na dolním limitu. To se rovná 7 krát 3 na 3, děleno 3. Od toho odečteme 7 krát -1 na 3, děleno 3. První výraz se rovná 7 krát 9, což je 63. Druhý výraz je -7 děleno 3. Odečítáme záporné číslo, takže obě - nahradíme +. Máme tedy 63 plus 7 třetin. 7 třetin je 2 a 1 třetina. Když to sečteme, získáme 65 a 1 třetinu. A máme výsledek.