Základní věta integrálního počtu (2. část)

Mějme funkci f, která je spojitá na intervalu mezi ‚c‘ a ‚d‘. Používám ‚c‘ a ‚d‘ místo ‚a‘ a ‚b‘, abych ‚a‘ a ‚b‘ mohl použít později. Definujme funkci F(x), je rovna obsahu plochy pod křivkou od ‚c‘ do hodnoty x, kde x leží na intervalu, na kterém je funkce f spojitá. Pod křivkou… Takže to je plocha pod křivkou mezi ‚c‘ a x. Když tady máme x… Pod křivkou, tedy f(t) dt. Zde je F(x), daná plocha. Toto je rovno F(x). Základní věta integrálního počtu říká, že pokud f je spojitá funkce na intervalu, pak F(x) má derivaci pro každé x v tomto intervalu a derivace F(x)… F(x) má derivaci pro každé x v intervalu mezi ‚c‘ a ‚d‘ a derivace F(x) je rovna f(x). Dobře. Nyní, v tomto videu jsem chtěl propojit první základní větu integrálního počtu a druhou základní větou integrálního počtu, kterou používáme k vypočítání určitého integrálu. Takže se zamyslíme nad tím, kolik je F(b) minus F(a), kde ‚b‘ a ‚a‘ jsou také v intervalu. Takže F(b)… A budeme předpokládat, že ‚b‘ je větší než ‚a‘. Řekněme, že ‚b‘ je tady. Uděláme to stejnou barvou. Řekněme, že ‚b‘ je tady. F(b) bude rovno… Pouze dosadíme ‚b‘ místo x. To bude rovno určitému integrálu mezi ‚c‘ a ‚b‘ z funkce f(t) dt. Tím jenom jinak popisujeme plochu pod křivkou mezi ‚c‘ a ‚b‘ Takže F(b) je všechno tohle tady. Od toho chceme odečíst F(a), takže to bude integrál do ‚c‘ z f(t) dt. Řekněme, že toto je zde. F(a) je plocha mezi ‚c‘ a ‚a‘ pod křivkou f(t). Takže to je tady. Je to tohle všechno. Když máme tuto modrou plochu, což je všechno tohle, a odečteme ji od této fialové plochy, tak co nám zbyde? Zbyde nám tato zelená plocha. Jak bychom to popsali? Jak bychom to zapsali? Můžeme to zapsat jako určitý integrál mezi ‚a‘ a ‚b‘ z funkce f(t) dt. Tady to máme. Toto je druhá základní věta integrálního počtu. Říká nám, že pokud f je spojitá na intervalu, tak toto je primitivní funkce f. A tady vidíme, že F je primitivní funkce f. Takže F je primitivní funkce… Tak jsme funkci F definovali… Nebo nedefinovali, ale základní věta integrálního počtu nám říká, že F je primitivní funkce f. Takže toto nám říká, že pokud máme takovýto určitý integrál, tak je roven primitivní funkci vyčíslené v bodě ‚b‘, a od toho odečteme hodnotu v bodě ‚a‘. Normálně to vypadá takto. Jen jsem prohodil pořadí. Určitý integrál od ‚a‘ do ‚b‘ z f(t) dt je roven primitivní funkci f, tedy F, vyčíslené v ‚b‘ a od toho odečteme hodnotu F v bodě ‚a‘. To je druhá část základní věty integrálního počtu, neboli druhá základní věta integrálního počtu. Toto je základ integrálního počtu, protože takto počítáme určité integrály.