Neurčité integrály sin(x), cos(x), a eˣ

Ukážeme si ještě pár příkladů integrálů, abychom si byli jistí v integrálech všech základních funkcí, které umíme zderivovat. A navíc vám chci zdůraznit, že ne vždy to musí být funkce x. Tady máme funkci t, a integrujeme tedy podle t. Takže bychom sem nenapsali dx. To není ten správný zápis. Důvod se dozvíte, když budeme probírat určité integrály. Takže jaký je integrál tady těchto věcí nahoře? Bude to stejné jako integrál sinu t, neurčitý integrál sinu t, plus neurčitý integrál kosinu t. Plus integrál kosinu t. Pojďme se tedy zamyslet nad těmito integrály. A my už něco málo víme o derivacích trigonometrických funkcí. Víme, že derivace podle t kosinu t je rovna minus sinus t. Takže pokud tady chceme dostat sinus t, musíme prostě zderivovat minus kosinus t. Pokud zderivujeme minus kosinus t, dostaneme plus sinus t. Derivace podle t kosinu t je minus sinus t. Tady vepředu máme minus. Bude to tedy plus sinus t. Takže integrál sinu t je minus kosinus t. Toto bude tedy rovno minus kosinus t. A jaký je integrál kosinu t? Už víme, že derivace podle t sinu t je rovna kosinu t. Takže integrál kosinu t je prostě sinus t, takže plus sinus t. A máme hotovo. Našli jsme ten integrál. Teď se podívejme na toto. Teď nemáme t. Hledáme neurčitý integrál podle... Tady je vlastně chyba. Tady by mělo být napsáno podle a. Vymažu to. Tady by mělo být da. Kdybychom to integrovali podle t, toto všechno by byly pouze konstanty. Ale nechci vás teď mást. Ať je to jasné, tady bude da. Toto integrujeme, integrujeme podle tohoto. Takže kolik bude toto? Opět to můžeme přepsat jako součet integrálů. Toto je neurčitý integrál eᵃ da, tohoto tady, plus... Udělám to zeleně. Plus neurčitý integrál 1/a da. Jaký je integrál eᵃ? Už něco málo víme o exponenciálních funkcích. Derivace podle x eˣ je rovna eˣ. Také proto je e v exponenciálních funkcích tak skvělé. A pokud jen místo a dáme x, tedy místo x dáme a, dostaneme, že derivace podle a eᵃ je rovno eᵃ. Takže tento integrál... Derivace eᵃ je eᵃ, takže integrál bude eᵃ. A možná můžeme přidat nějakou konstantu. A abych nezapomněl, musím přidat konstantu i tady. Může tady být konstanta. To je vždycky důležité. Nezapomeňte na konstantu. Takže tady máme konstantu. Nikdy na to nezapomeňte. Já málem zapomněl. Takže znova, jaký je integrál eᵃ? Je to eᵃ. Jaký je integrál 1/a? To jsme viděli v minulém videu. To bude přirozený logaritmus absolutní hodnoty a. A pak chceme dostat ten nejobecnější integrál, takže tady může být nějaká konstanta. A máme hotovo. Našli jsme integrály obou těchto výrazů.