Úpravy integrovaných výrazů před samotným integrováním

Představme si, že chceme najít integrál z (x na druhou) krát (3x minus 1) dx. Zastavte na chvíli video a zkuste si to spočítat sámi. Možná si říkáte: "Jaký fígl mám použít?" Uvidíme, že nejlepší a také nejjednodušším trikem je: výraz nejdříve zjednodušit. Co by se stalo, když bychom roznásobili závorku x na druhou? Uvnitř integrálu dostaneme mnohočlen. Je to rovno integrálu z… x na druhou krát 3x je rovno x na třetí a pak tu máme −1 krát x na druhou, což je −x na druhou, a pak ještě dx. A nyní je už docela jasné, jak to spočítat. Bude to rovné primitivní funkci z x na třetí, to je (x na čtvrtou) děleno 4. Takže tady máme (3 krát x na čtvrtou) děleno 4. Můžu to také napsat takto, prostě to napíšu jako (3x na čtvrtou) děleno 4. A pak chceme primitivní funkci z x na druhou, což je (x na třetí) děleno 3. Takže (−x na třetí) děleno 3, a jedná se o neurčitý integrál, takže nesmíme zapomenout na konstantu. Zapíšu ji a máme hotovo. Ponaučení z tohoto příkladu je, že občas stačí jen trochu roznásobování a dostaneme hned tvar, který je mnohem lehčí integrovat. Pojďme na další příklad. Chceme najít neurčitý integrál z… Toto bude nepříjemný výraz. Takže máme x na třetí plus x na druhou minus 5, to celé je vydělené x na druhou, a nakonec samozřejmě dx. Jak na tuto úlohu? Opět si stopněte video a zkuste si to spočítat sámi. Opět se asi snažíte najít nějaký super trik, ale opět nejjednodušší a nejlepší je zase výraz zjednodušit. Co se stane, když prostě vydělíme každý člen x na druhou? Bude to rovno... ...toto je v závorkách… (x na třetí) děleno (x na druhou) je rovno x. (3 krát x na druhou) děleno (x na druhou) je prostě 3. A pak −5 děleno x na druhou můžeme zapsat jako −5 krát (x na minus druhou). Takže opět použijeme obrácené pravidlo pro derivaci mocniny, a tak najdeme primitivní funkce. Toto bude… Primitivní funkce od x je (x na druhou) lomeno 2, pak přičteme primitivní funkci od 3, což je prostě 3 krát x. Nakonec potřebujeme primitivní funkci z −5 krát (x na minus druhou). Takže exponent zvýšíme o jedna, a pak touto hodnotou člen vydělíme. Tedy máme −5 krát (x na minus první) a to celé děleno −1, což můžeme zapsat takto, nebo upravit. Protože tyhle dva se prostě zkrátí, tady máme minus a dělíme minusem. Proto to přepíšeme na +5 krát x, derivováním můžeme ověřit, že skutečně získáme zase toto. Na závěr samozřejmě nemůžeme zapomenout na konstantu C. Nikdy na ni nesmíte zapomenout, když počítáte neurčitý integrál. Ještě si spočítáme jeden příklad. Hledáme neurčitý integrál ze třetí odmocniny z (x na pátou) dx. Stopněte video a zkuste si to spočítat sami. Zkusím to zapsat trochu lépe. x na pátou dx. Zkuste to sami. Tady je hlavním cílem výraz přepsat do jednoho exponentu. Je to rovno neurčitému integrálu z (x na pátou) na jednu třetinu. Prostě jsme přepsali třetí odmocninu jako umocnění na jednu třetinu. A to je stejné jako integrál z x na… Když něco umocním a pak to znovu umocním, tak to je stejné jako násobení exponentů. To je prostá vlastnost exponentů. x na 5/3 dx. Většina z vás asi šla rovnou na tento krok. A opět musíme použít obrácené pravidlo pro derivaci mocniny. Toto bude x na… Zvýšíme 5/3 o 1, což je jako přičtení 3/3, takže máme 8/3, pak to vydělíme 8/3, vynásobíme převrácenou hodnotou. Takže získáme 3/8 krát (x na 8/3). Samozřejmě nesmíme zapomenout na konstantu C a zkoušku. Použijeme pravidlo pro derivaci mocniny, 8/3 krát 3/8, což prostě dá 1, a pak zmenšíme mocninu o 3/3, neboli 1, takže dostaneme 5/3, což je přesně to, co jsme měli na začátku. Největší ponaučení je, že často nejlepší trik na integraci je zjednodušení výrazu.