Neurčitý integrál: součet a násobky

Máme zde uvedeny dvě základní vlastnosti neurčitých integrálů a brzy uvidíme, že jsou velmi užitečné. Toto nám říká, že neurčitý integrál součtu dvou různých funkcí se rovná součtu jednotlivých neurčitých integrálů těchto funkcí. Tato rovnost zase říká, že neurčitý integrál součinu konstanty, která není funkcí proměnné x, integrál konstanty krát f(x) je roven konstantě krát neurčitý integrál f(x). jinými slovy dáme konstantu před integrál. Obě tyto vlastnosti se nám budou hodit. Pokud vám toto stačí, můžete pokračovat na další video. Chcete-li však menší důkaz, zderivuji obě strany této rovnosti a pomocí vlastností diferenciálního počtu ukáži, že vzniklé derivace jsou totožné. Pojďme to tedy udělat. K důkazu obou rovností využiji vlastností derivace. Zderivujeme obě strany a uvidíme, že rovnost stále platí i poté, co odstraníme integrály. Pojďme zderivovat obě strany podle x. Levá strana se bude rovnat tomu, co máme v tom neurčitém integrálu. Stane se z toho f(x) + g(x). No a co se stane s tímto? Podle vlastností derivací platí, že derivace součtu dvou funkcí se rovná součtu jednotlivých derivací. Bude to trošičku delší. Derivace této první části podle x plus derivace druhé části podle x. První část je integrál funkce f(x) dx. Plus tady integrál funkce g(x) dx. Tady je f(x) a tady je g(x). A čemu se rovnají tyto výrazy? Tyto výrazy, napíšeme ještě tady "rovná se", derivace tohoto podle x bude rovna f(x) a derivace tohoto podle x bude g(x). Toto tvrzení je očividně pravdivé. Pojďme se teď podívat na tuto rovnost. Uděláme zde to samé, zderivujeme obě strany rovnosti. Derivace podle x levé strany a derivace podle x pravé strany. Levá strana bude jasně rovna c krát f(x). A co se stane s pravou stranou? Z diferenciálního počtu víme, že derivace konstanty krát funkce je rovna konstantě krát derivace funkce. Takže dostaneme neurčitý integrál funkce f(x) dx. A tento výraz se bude rovnat f(x). Tento výraz se bude rovnat c krát f(x). Takže i zde vidíme, že rovnost je platná. Snad vám tyto důkazy potvrdily platnost těchto vlastností, ale důležitější je vědět, kdy se hodí je použít. Například, když bych měl neurčitý integrál x na druhou plus kosinus x, už víme, že se to rovná integrálu x na druhou dx plus integrálu kosinu x dx. Takže tento výraz se rovná tomuto. Nyní můžete určit každý integrál zvlášť. A tato rovnost nám pomůže, protože když mám například integrál pí krát sinus x dx, tak můžeme konstantu dát před integrál. Pí rozhodně není funkcí proměnné x, bude mít stále svou stejnou hodnotu, takže ho můžeme dát před integrál, a to se bude rovnat pí krát integrál sinu x. Toto jsou dvě velmi užitečné vlastnosti integrálů a snad jsou nyní zřejmější.