Důkaz základní věty integrálního počtu

Řekněme, že máme zadanou nějakou funkci f, která je spojitá na intervalu od a do b. Tak se zkusme podívat, jestli to můžeme znázornit. Takže tohle je osa y, tohle tady. Tady udělám osu t. Osu x použijeme až později. Čili tohle nazvu osou t. A řekněme, že tohle tady je graf y, kde y je rovno f(t). O kterém říkáme, že je spojité na intervalu od a do b. Takže tohle t se rovná a. Tohle t se rovná b. Tak tedy říkáme, že je spojité na tomhle celém intervalu. A teď jen tak pro zajímavost definujme funkci velké F(x). Napíšu ji modře. Pojďme definovat, že se velké F(x) rovná určitému integrálu od dolní meze a do x z funkce f(t), to bych udělal… z funkce f(t) podle dt, kde je x v tomto intervalu, v němž a je menší nebo rovno x a x je menší nebo rovno b. Tohle je jen jiný způsob, jak vyjádřit, že x je právě v tomhle intervalu tady. Když se na to podíváte, můžete si říct, aha, určitý integrál, ten má co dočinění s derivací a primitivní funkcí a vším tímhle. Ale my to ještě neznáme. Všechno, co víme už teď, je, že tohle je plocha pod křivkou f mezi A a x. Mezi A a řekněme, že tohle zde je x. Čili f(x) je prostě tahle plocha tady. To je vše, co o tom víme. Ještě nevíme, že to má co dočinění s primitivní funkcí. Budeme se to snažit dokázat v tomto videu. Tak jen tak pro zajímavost udělejme derivaci f. Tu získáme použitím definice derivace a uvidíme, co dostaneme, když použijeme derivaci podle definice derivace. Takže derivace f'(x)… Tahle definice derivace je: limita pro delta x blížící se nule z velkého F(x) plus delta x mínus f(x), to celé lomeno delta x. Tohle je jenom definice derivace. A teď, čemu se to rovná? No, dovolte mi to přepsat pomocí těchto integrálů. Bude se to rovnat limitě, když se delta x blíží nule z… Co je f(x) plus delta x? Tak semhle vložme x. Dostaneme určitý integrál od a do x plus delta x z f(t) podle dt. A potom od tohohle odečteme tohle, F(x), které jsme si už zapsali, jako určitý integrál od a do x z funkce f(t) podle dt, a to celé potom děleno delta x. Takže co tohle představuje? Nezapomeňte, že nevíme nic o určitých integrálech nebo o řešení něčeho s primitivní funkcí a tak dále. Víme jen to, že tohle je jiný způsob, jak vyjádřit plochu pod křivkou f mezi A a x plus delta x. Ještě jednou… Plocha pod křivkou f mezi A a x plus delta x.. Takže to je celá ta plocha tady. To je tedy tahle část. Víme už, co znamená tohle modré. To bych udělal stejným odstínem modré. Takže tohle modré tady, to se rovná celé téhle věci. Už jsme to vybarvili. To je rovno celé téhle části tady. Takže pokud byste vzali celou tuhle zelenou plochu, která je od a do x plus delta x, a odečetli od ní modrou plochu, což je přesně to, co děláme v čitateli, co by nám zbylo? No zůstala by vám… Jakou barvu jsem ještě nepoužil? Asi použiju tuhle růžovou. Tak ale tu jsem už použil. Použiju tuhle fialovou. Zůstala by vám tahle plocha zde. Takže jak jinak to můžeme zapsat? No, jiný způsob zapsání téhle plochy zde je určitý integrál mezi x a x plus delta x z funkce f(t) podle dt. Takže celý ten výraz můžeme přepsat jako: derivace velkého F(x) – tohle je velké F(x) s čárkou – teď to můžeme přepsat, že se to rovná limitě pro x blížící se 0. Tohle můžu zapsat jako 1 lomeno delta x krát čitatel. A už jsme přišli na čitatele. Zelená oblast mínus modrá oblast je jednoduše fialová oblast a jiná možnost, jak zapsat tu oblast, je tenhle výraz. Takže 1 lomeno delta x krát určitý integrál od x do x plus delta x z funkce f(t) podle dt. Tenhle výraz je zajímavý. Může vám připadat známý z věty o střední hodnotě funkce určitého integrálu. Věta o střední hodnotě funkce určitého integrálu nám říká… Věta o střední hodnotě funkce určitého integrálu nám říká… že existuje c na intervalu, kde… Napíšu to takhle… kde a je menší nebo rovno c, které je menší než… No, to bych rád vysvětlil. Interval, který nás zajímá, je mezi x a x plus delta x kde x je menší nebo rovno c, které je menší nebo rovno x plus delta x takové, že hodnota funkce v bodě c… tak to c bych načrtl… Takže existuje c někde tady, čili pokud vezmeme hodnotu funkce v bodě c, a tohle je f(c). Pokud bychom chtěli hodnotu funkce v bodě c, což by fakticky byla výška této čáry, a to násobím délkou základny, tímto intervalem, pokud to násobím tímto intervalem… ten interval je právě delta x, x plus delta x mínus x je právě delta x. Tak když vynásobíme výšku krát základnu, bude se to rovnat ploše pod křivkou, což je určitý integrál od x do x plus delta x z funkce f(t) podle dt. To je to, co nám říká věta o střední hodnotě funkce. Pokud je f spojitá funkce, existuje v tomto intervalu c mezi našimi krajními body, kde funkční hodnota bodu c je v podstatě… Dá se na to dívat tak, že je to střední hodnota výšky. A když vezmete střední hodnotu funkce a vynásobíte ji základnou, získáte plochu pod křivkou. Anebo jiný způsob přepsání: mohli byste říct, že existuje c v tomto intervalu, kde f(c) je rovno jedné lomeno delta x, jenom dělím obě strany delta x… krát určitý integrál od x do x plus delta x z funkce f(t) podle dt. A to je často chápáno jako střední hodnota funkce na intervalu. Proč to tak je? No, tahle část tady vám dává plochu a vy pak vydělíte tu plochu základnou, čímž získáte střední hodnotu výšky. Jinak řečeno, když vezmete výšku, vynásobíte ji základnou, dostanete obdélník, který má přesně stejný obsah jako plocha pod křivkou. Tohle je tedy užitečné, protože to je přesně to, co jsme získali derivací F'(x). Proto musí existovat c takové, že f(c) se rovná tomuhle. Nebo bychom mohli říct, že limita… to všechno přepíšu teď jinou barvou. Takže existuje c v intervalu x až x plus delta x, kde F'(x), o kterém víme, že je rovno tomuhle… můžeme nyní říct, že F'(x) se rovná limitě pro delta x blížící se nule. A místo psaní tohoto, víme, že existuje nějaké c, které je rovno tomuhle všemu, funkce f(c). Teď jsme v cílové rovince. Musíme jenom zjistit, jaká je limita pro delta x blížící se nule z funkce f(c). A hlavní je pochopit tuhle část zde. Víme, že c je vždy vmáčknuté mezi x a x plus delta x. A mohli byste intuitivně říct, podívejte, když se delta x blíží 0… kdy se tahle zelená čára tady pohybuje víc a víc doleva, jak se blíží modré čáře, c musí být mezi tím, a tak se c bude blížit x. Takže intuitivně víme, že c se blíží x, když delta x jde k nule. Anebo jiný způsob jak to říct je, f(c) se bude blížit f(x), když delta x bude blízká nule. Čili intuitivně bychom mohli říct, že se tohle bude rovnat f(x). Teď byste mohli říct: OK, to je intuitivně, ale my tady svým způsobem pracujeme na důkazu, Sale. Ujisti mě, prosím, že x se bude blížit c. Nestačí mi to tvé kreslení schémat, a to dává smysl, že bude blíž a blíž k x. A kdybyste chtěli, mohli byste sáhnout po tzv. větě o dvou policajtech. K tomu musíte c chápat jako funkci pro delta x. A tak to opravdu je. V závislosti na delta x půjde c více doleva anebo taky doprava. A tak tenhle výraz mohu přepsat jako x je menší nebo rovno než c jako funkce z delta x, která je menší nebo rovno než x plus delta x. Teď vidíte, že c se vždy vtěsná mezi x a x plus delta x. Ale jaká je limita z x, když delta x bude blízké nule? No, x není žádným způsobem závislé na delta x, takže tohle se bude rovnat x. Jaká je limita z x plus delta x, když se delta x bude blížit nule? Tak když se delta x blíží nule, tohle bude rovno x. Takže když se tohle blíží k x, když jde delta x k nule, a je to méně než tato funkce a pokud se tohle blíží k x s tím, jak se delta x blíží k 0 a je to vždy větší než tohle, potom z „věty o dvou policajtech“ víme, že limita funkce c v bodě delta x pro delta x blížící se k nule bude také rovno x. Musí se to blížit stejné věci jako tohle a tohle. Je to vmáčknuté mezi ně. Použijeme větu o dvou policajtech, která je o něco víc důkladná, abychom se dostali k přesnému výsledku. Když se delta x blíží k 0, c se blíží k x. Pokud se c blíží k x, pak se funkce f(c) bude přibližovat f(x). A tím v podstatě máme náš důkaz. F je spojitá funkce, velké F definujeme tímto způsobem a byli jsme schopní použít definici derivace, abychom zjistili, že derivace velkého F(x) je rovna funkci f(x). A ještě jednou, proč je tohle tak strašně důležité? Říká vám to, že když vezmete libovolnou spojitou funkci f… a předpokládáme, že f je spojitá na intervalu… existuje nějaká funkce, kterou můžete definovat tímto způsobem jako plochu pod křivkou mezi krajním bodem nebo začátkem intervalu a nějakým x. Pokud takto definujete funkci, derivace této funkce bude rovna vaší spojité funkci. Anebo jinak by to šlo říct tak, že máte vždy primitivní funkci, že každá spojitá funkce má primitivní funkci. A to je pár docela skvělých věcí. Jakákoli spojitá funkce má primitivní funkci. Tou bude právě ta funkce velké F(x). A to je důvod, proč se to nazývá základní věta integrálního počtu. Propojuje to spolu tyto dvě myšlenky. A máte diferenciální počet. Máte myšlenku derivace. A potom v integrálním počtu máte myšlenku integrálu. Před tímto důkazem jsme vnímali integrál jako plochu pod křivkou. Byl to doslova zápis plochy pod křivkou. Ale teď jsme to dokázali propojit. Existuje spojení mezi integrálem a derivací nebo spojení mezi integrálem a konkrétně primitivní funkcí. Takže ono to propojuje celý infinitezimální počet velmi, velmi mocně… A my jsme na to teď zvyklí a teď nám to připadá jako očividný způsob, ale očividné to nebylo. Nezapomeňte, že integrály chápeme jako hledání primitivní funkce, ale to nebylo jasné. Pokud jste integrál chápali jako plochu, měli byste si tento proces projít, abyste si řekli, tyjo, tohle všechno souvisí s derivováním.