Integrace per partes: ∫𝑒ˣ⋅cos(x)dx

Podívejme se, jestli lze použít integraci per partes k vyřešení integrálu eˣcos(x) dx. Kdykoli mluvíme o integraci per partes, ptáme se, která z funkcí, jejichž součin tady máme, která z těchto funkcí, eˣ nebo kosinus x, se po zderivování zjednoduší. V tomto případě se nezjednoduší ani jedna. A ani jedna nebude o moc komplikovanější, když ji zintegrujeme. Tady to tedy bude jedno, kterou přiřadím k f(x) a kterou k g'(x). Tento příklad jde ve skutečnosti vyřešit oběma způsoby. Takže to přiřadíme takto. Řekněme, že f(x) bude rovno eˣ. A g'(x) bude rovno kosinu x. Zapíšu to. Říkáme, že f(x) je rovno eˣ nebo také f'(x) je rovno eˣ. Derivace eˣ je zase eˣ. A můžeme říct, že přiřazujeme g'(x) rovno kosinu x. A integrál tohoto, g(x), je roven integrálu kosinu x, což se bude rovnat sinus x. Teď tedy použijme integraci per partes. Toto bude rovno f(x) krát g(x), což je eˣ krát sinus x, minus integrál f'(x), což je eˣ, krát g(x), což je opět sinus x. Sinus x dx. Teď to nevypadá, že bychom se někam posunuli, dostali jsme neurčitý integrál obsahující sinus x. Podívejme se, jestli to umíme nějak vyřešit, toto zvlášť. Takže se snažíme najít integrál eˣsin(x) dx. Jak to uděláme? Podobně jako předtím můžeme přiřadit f(x) rovno eˣ. A teď děláme nové přiřazení, ačkoli je úplně stejné jako to předchozí. Takže f(x) je rovno eˣ. f'(x) je rovno derivaci tohoto, což je zase eˣ. A pak bude g(x) v tomto případě rovno sinus x. Toto přiřazení teď na chvilku pustíme z hlavy. A pak… Ať si to ujasníme, g'(x), ups, no vida, g'(x) se rovná sinus x, což znamená, že jeho integrál je -kosinus x. Derivace kosinu je -sinus, derivace -kosinu je +sinus. Takže použijme opět integraci per partes. Máme f(x) krát g(x). f(x) krát g(x) je minus… Dám to znaménko minus dopředu. -eˣ krát kosinus x minus integrál f'(x)g(x). f'(x) je eˣ. A g(x) je -kosinus x. Takže napíšu ten kosinus x sem a ten zápor můžeme přesunout před znak integrálu. Odečítáme tedy záporné, takže dostaneme kladné. A samozřejmě tady máme naše dx. Možná si říkáte, Sale, nikam jsme se neposunuli. Toto jsme teď vyjádřili pomocí integrálu, který jsme měli původně. Jsme zpátky na začátku. Zkusme ale něco zajímavého. Dosaďme toto zpátky… Napíšu to jinak. Dosaďme toto sem. Nebo to napíšu ještě jinak. Dosaďme toto za toto v naší původní rovnici. A podívejme se, jestli dostaneme něco zajímavého. Dostaneme náš původní integrál na levé straně tady. Neurčitý integrál eˣcos(x) dx je roven eˣsin(x) minus celé toto. Odečteme tedy toto všechno. Odečítáme toto celé. Když odečítáme -eˣcos(x), bude to kladné. Bude to +eˣcos(x). A pak pamatujte, že odčítáme toto všechno. Takže pak budeme odčítat. Takže pak máme minus integrál eˣcos(x) dx. A to je zajímavé. Jen jsme vzali tuto část, použili jsme integraci per partes a dostali jsme toto. Tak jsme to dosadili zpátky. Když jsme to odečetli, toto od tohoto, dostali jsme toto dole. Zajímavé je, že teď vlastně máme rovnici, která obsahuje náš původní výraz dvakrát. Můžeme to dokonce přiřadit nějaké proměnné a pak tuto proměnnou spočítat. Co kdybychom tedy přičetli tento výraz k oběma stranám rovnice? Vysvětlím to. Přičtěme integrál eˣcos(x) dx k oběma stranám. eˣcos(x) dx. A co dostaneme? Na levé straně máme dvakrát náš původní integrál eˣcos(x) dx, který je roven tomuto celému. Je roven tomuto. Zkopíruju to a vložím. Kopírovat a vložit. Je to rovno celému tomuto. A pak tato část, která se navzájem vyruší. A teď můžeme vyřešit náš původní výraz, integrál eˣcos(x) dx. Musíme jen vydělit obě strany této rovnice dvěma. Když tedy vydělíme levou stranu 2, dostaneme náš původní výraz. Integrál eˣcos(x) dx. A na pravé straně máme to, čemu to bude rovno. eˣsin(x) plus eˣcos(x) lomeno 2. A teď musíme dát pozor, protože toto je jeden z integrálů našeho původního výrazu, ale není jediný. Musíme si vždy pamatovat, že ačkoli jsme tvrdě pracovali a použili jsme per partes dvakrát a pak jsme ještě zpátky dosadili, stále musíme myslet na to, že by tady měla být konstanta. Takže když toto zderivujeme, nezávisle na hodnotě konstanty, dostaneme eˣcos(x). A dostali jsme vlastně docela hezký výraz.