Hlavní obsah
Integrální počet
Kurz: Integrální počet > Kapitola 2
Lekce 2: Integrace per partes- Úvod do integrace per partes
- Integrace per partes: ∫x⋅cos(x)dx
- Integrace per partes:∫ln(x)dx
- Integrace per partes:∫x²⋅𝑒ˣdx
- Integrace per partes: ∫𝑒ˣ⋅cos(x)dx
- Integrace per partes
- Integrace per partes: určitý integrál
- Integrace per partes: určitý integrál
- Integrace per partes: těžší příklady
- Integrace per partes: shrnutí
Integrace per partes: určitý integrál
Když hledáme určitý integrál pomocí per partes, tak nejdřív najdeme primitivní funkci (stejně jako u neurčitého integrálu). Na závěr ale do získané primitivní funkce nesmíme zapomenout dosadit meze a hodnoty od sebe odečíst.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
V tomto videu spočítáme určitý integrál
od 0 do π z funkce x krát cos(x) dx. Jako vždy, stopněte si video
a zkuste si příklad vyřešit sami. Při prvním pohledu nemusí být jasné, jak najít primitivní funkci
a spočítat její hodnoty v π a 0. Takže asi musíme použít
trochu složitější postup. Většinou při součinu funkcí, kde jednu je
lehké integrovat, jako například kosinus, druhá má zase derivaci, která je
jednodušší, jako třeba x, derivace je 1. To je dobré znamení, že bychom
měli použít integraci per partes. Připomeňme si, jak
se integruje per partes. Integrace per partes,
napíšu to tady. Pokud mám integrál,
zapíšu to jako neurčitý integrál, my chceme najít neurčitý
integrál a vyčíslit ho v π a 0. Mám f(x) krát g(x) s čárkou dx. To je rovno… Dokázali jsme to v jiných videích,
vychází to z pravidla o derivaci součinu. Je to rovno f(x) krát g(x)
minus f(x) s čárkou krát g(x) dx. Pro zopakování, chceme najít f(x)
takové, že jeho derivace je jednodušší, a naopak takové g(x) s čárkou, že
jeho primitivní funkce nebude složitější. Nechceme to zkomplikovat. Pokud f(x) bude po
zderivování jednodušší, a primitivní funkce od
g(x) s čárkou nebude složitější, pak u výsledného výrazu bude
mnohem lehčí najít primitivní funkci. Tak to tady uděláme. Derivace které funkce je
jednodušší, kosinu nebo x? Derivace x je prostě 1, takže to
bude moje f(x), napíšu to sem. V tom případě je f(x) s čárkou rovno 1,
a jak potom vypadá g(x) s čárkou? Máme, že g(x) s čárkou je primitivní
funkce od cos(x), není to složitější. Primitivní funkce od kosinu je sinus. Takže to bude g(x) s čárkou. g(x) s čárkou je rovno cos(x), takže g(x) je rovno primitivní
funkce od cos(x), takže sin(x). Lze se na to podívat obráceně,
že derivace sinu je kosinus. Asi vás napadne,
kde je konstanta C? Ale vzpomeňte si, že počítáme určitý
integrál, takže ty konstanty se požerou. Koukněme se na to. Použijeme integraci per partes. V tomto případě bude tohle rovno… Skočím sem. Je to rovno f(x) krát g(x). f(x) je x a g(x) je sin(x), f(x) krát g(x) minus integrál
z f(x) s čárkou, což je prostě 1. Zapíšeme to jako 1 krát g(x),
g(x) je sin(x), takže to zapíšeme takhle. 1 krát sin(x) je prostě sin(x),
takhle to bude jednodušší, sin(x) dx. A jelikož se jedná o určitý integrál, tak
musíme spočítat rozdíl hodnot v π a 0. Co je neurčitý integrál, neboli
primitivní funkce, ze sin(x) dx? Víme, že derivace kosinu je −sinus. Dáme znaménko minus dovnitř integrálu,
takže máme plus integrál z −sin(x). Pak je jasné, že primitivní funkce
je cos(x), takže tohle bude cos(x). Nyní to musíme vyčíslit
v koncových bodech. Nejdříve to spočítáme v π. Je to rovno π krát sin(π) plus cos(π), od toho odečteme to stejné v 0,
udělám to jinou barvou. To je 0 krát sin(0) plus cos(0). sin(π) je prostě 0,
takže tohle zmizí. cos(π) je −1, pak
toto je 0 a cos(0) je 1, takže máme −1 minus 1,
což je celkově −2. A máme hotovo! Pomocí integrace per partes
jsme spočítali určitý integrál.