Integrace per partes:∫ln(x)dx

Cílem tohoto videa je vypočítat integrál přirozeného logaritmu z x. Způsob, jak k tomu přistoupit, není ze začátku úplně zřejmý. I kdybych vám řekl, abyste použili metodu per partes, hledali byste něco, co vypadá jako součin dvou funkcí, ale tady to vypadá, jako bych měl pouze jednu funkci, přirozený logaritmus x. Mohlo by to ale být mnohem jasnější, kdybych to napsal jako integrál z přirozeného logaritmu x krát 1 dx. Teď už máme součin dvou funkcí. 1 je funkce. Funkce proměnné x. Není sice závislá na x, bude to pořád 1, ale mohli bychom mít funkci f(x) se rovná 1. Nyní je použití metody per partes mnohem jasnější. Per partes nám říká, že když máme integrál, který lze vnímat jako součin jedné funkce krát derivace druhé funkce… Toto je vlastně opak pravidla derivace součinu, to už jsme si několikrát ukázali. Tohle bude rovno součinu obou funkcí, f(x) krát g(x), minus integrál z... Místo f a derivace g budeme mít derivaci f a g. Takže derivace f(x) krát g(x) dx. A tohle jsme viděli už několikrát. Když chceme přijít na to, co by mělo být f a co g, za f musíme dosadit něco, co se snadno derivuje a zároveň se derivací zjednoduší. A pro derivaci g chceme najít něco, co se snadno integruje. Dobrým kandidátem na f je tedy přirozený logaritmus x. Jeho derivace je jednoduše 1/x. Raději to napíšu. Takže pokud f je rovno přirozenému logaritmu z x, derivace f bude rovna 1/x. A řekněme, že derivace g se rovná 1. Derivace g se rovná 1. To znamená, že g by se mohlo rovnat x. A teď se vraťme sem. Tohle tedy bude rovno f(x) krát g(x). f(x) krát g(x) je x krát přirozený logaritmus x. g(x) je x a f(x) je přirozený logaritmus x. Raději napíšu x před logaritmus x, abych předešel nejasnostem. Toto je tedy x krát přirozený logaritmus x minus integrál z derivace f, což je 1/x, krát g(x), což je x, dx. Čemu se bude rovnat tohle? Uvnitř integrálu máme jednoduše 1/x krát x, což je 1. Takže se to celé pěkně zjednoduší. Nakonec se to bude rovnat… Napíšu to sem. Nakonec se to bude rovnat x krát přirozený logaritmus x minus integrál jen z dx, neboli integrál z 1 dx. Integrál z 1, to je minus x. To je ale jen jeden z možných integrálů. Pokud chceme obecnější výsledek, musíme sem přidat plus c. A jsme hotoví. Našli jsme integrál z přirozeného logaritmu x. Doporučuji vám, aby jste si to zderivovali. Tady použijete pravidlo pro derivaci součinu. A vyzkoušejte si, že skutečně dostanete přirozený logaritmus x, když toto zderivujete.