Integrace per partes: shrnutí

Shrneme si všechno, co umíme o integraci per partes.

Co je integrace per partes?

Integrace per partes je metoda, jak spočítat integrál součinu:

\int u (x) v^{'} (x) d x = u (x) v (x) - \int u^{'} (x) v (x) d x

nebo zapsáno zkráceně:

\int u d v = u v - \int v d u

Tento postup použijeme tak, jelikož se jedná vlastně o "obrácené součinové pravidlo," že budeme uvažovat jednu z funkcí jako derivaci jiné funkce.

Chceš se dozvědět více o integraci per partes? Koukni se na toto video.

Zkusme například spočítat neurčitý integrál

\int x \cos x d x

. K tomu musíme definovat

u = x

d v = \cos (x) d x

\int x \cos (x) d x = \int u d v

u = x

znamená, že

d u = d x

d v = \cos (x) d x

znamená, že

v = \sin (x)

Teď můžeme dosadit do rovnice!

\begin{aligned} \int x \cos (x) d x & = \int u d v \\ = u v - \int v d u \\ = x \sin (x) - \int \sin (x) d x \\ = x \sin (x) + \cos (x) + C \end{aligned}

Nezapomeň, že správnost výsledku si vždycky můžeš zkontrolovat derivováním!

Příklad 1.1

\int x e^{5 x} d x = ?

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Zkus se podívat na toto cvičení.

Zkusme například spočítat určitý integrál

\int_{0}^{5} x e^{- x} d x

. K tomu si musíme určit, že

u = x

d v = e^{- x} d x

u = x

znamená, že

d u = d x

d v = e^{- x} d x

znamená, že

v = - e^{- x}

Teď můžeme dosadit do rovnice:

\begin{aligned} \int_{0}^{5} x e^{- x} d x \\ = \int_{0}^{5} u d v \\ = [u v]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} v d u \\ = [- x e^{- x}]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} - e^{- x} d x \\ = [- x e^{- x} - e^{- x}]_{0}^{5} \\ = [- e^{- x} (x + 1)]_{0}^{5} \\ = - e^{- 5} (6) + e^{0} (1) \\ = - 6 e^{- 5} + 1 \end{aligned}

Příklad 2.1

\int_{1}^{e} x^{3} \ln x d x = ?

Chceš vypočítat víc takových příkladů? Zkus toto cvičení.

Setřídit podle:

Zatím žádné příspěvky.