If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Integrace per partes: shrnutí

Shrneme si všechno, co umíme o integraci per partes.

Co je integrace per partes?

Integrace per partes je metoda, jak spočítat integrál součinu:
integral, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, integral, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x
nebo zapsáno zkráceně:
integral, u, space, d, v, equals, u, v, minus, integral, v, space, d, u
Tento postup použijeme tak, jelikož se jedná vlastně o "obrácené součinové pravidlo," že budeme uvažovat jednu z funkcí jako derivaci jiné funkce.
Chceš se dozvědět více o integraci per partes? Koukni se na toto video.

Příklady 1: Integrace per partes neurčitého integrálu

Zkusme například spočítat neurčitý integrál integral, x, cosine, x, d, x. K tomu musíme definovat u, equals, x a d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x:
integral, x, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, integral, u, d, v
u, equals, x znamená, že d, u, equals, d, x.
d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x znamená, že v, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
Teď můžeme dosadit do rovnice!
xcos(x)dx=udv=uvvdu=xsin(x)sin(x)dx=xsin(x)+cos(x)+C\begin{aligned} \displaystyle\int x\cos(x)\,dx &=\displaystyle\int u\,dv \\\\ &=uv-\displaystyle\int v\,du \\\\ &=\displaystyle x\sin(x)-\int\sin(x)\,dx \\\\ &=x\sin(x)+\cos(x)+C \end{aligned}
Nezapomeň, že správnost výsledku si vždycky můžeš zkontrolovat derivováním!
Příklad 1.1
integral, x, e, start superscript, 5, x, end superscript, d, x, equals, question mark
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

Chceš si vyzkoušet více podobných příkladů? Zkus se podívat na toto cvičení.

Příklady 2: Integrace per partes určitého integrálu

Zkusme například spočítat určitý integrál integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, x, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x. K tomu si musíme určit, že u, equals, x a d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x:
u, equals, x znamená, že d, u, equals, d, x.
d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x znamená, že v, equals, minus, e, start superscript, minus, x, end superscript.
Teď můžeme dosadit do rovnice:
=05xexdx=05udv=[uv]0505vdu=[xex]0505exdx=[xexex]05=[ex(x+1)]05=e5(6)+e0(1)=6e5+1\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int_0^5 xe^{-x}\,dx \\\\ &=\displaystyle\int_0^5 u\,dv \\\\ &=\Big[uv\Big]_0^5-\displaystyle\int_0^5 v\,du \\\\ &=\displaystyle\Big[ -xe^{-x}\Big]_0^5-\int_0^5-e^{-x}\,dx \\\\ &=\Big[-xe^{-x}-e^{-x}\Big]_0^5 \\\\ &=\Big[-e^{-x}(x+1)\Big]_0^5 \\\\ &=-e^{-5}(6)+e^0(1) \\\\ &=-6e^{-5}+1 \end{aligned}
Příklad 2.1
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, e, end superscript, x, cubed, natural log, x, space, d, x, equals, question mark
Vyber 1 odpověď:
Vyber 1 odpověď:

Chceš vypočítat víc takových příkladů? Zkus toto cvičení.