Integrace per partes: shrnutí

Integrace per partes je metoda, jak spočítat integrál součinu:

nebo zapsáno zkráceně:

Tento postup použijeme tak, jelikož se jedná vlastně o "obrácené součinové pravidlo," že budeme uvažovat jednu z funkcí jako derivaci jiné funkce.

Zkusme například spočítat neurčitý integrál $\displaystyle\int x\cos x\,dx$integral, x, cosine, x, d, x. K tomu musíme definovat $u = x$u, equals, x a $dv=\cos(x) \,dx$d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x:

$u=x$u, equals, x znamená, že $du = dx$d, u, equals, d, x.
$dv=\cos(x)\,dx$d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x znamená, že $v = \sin(x)$v, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

Teď můžeme dosadit do rovnice!

Nezapomeň, že správnost výsledku si vždycky můžeš zkontrolovat derivováním!

Zkusme například spočítat určitý integrál $\displaystyle\int^5_0 xe^{-x}dx$integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, x, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x. K tomu si musíme určit, že $u = x$u, equals, x a $dv=e^{-x} \,dx$d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x:

$u=x$u, equals, x znamená, že $du = dx$d, u, equals, d, x.
$dv=e^{-x}\,dx$d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x znamená, že $v = -e^{-x}$v, equals, minus, e, start superscript, minus, x, end superscript.

Teď můžeme dosadit do rovnice: