If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Pokud používáš webový filtr, ujisti se, že domény: *.kastatic.org and *.kasandbox.org jsou vyloučeny z filtrování.

Hlavní obsah

Souměrnost mnohočlenů

Nauč se rozpoznat, jestli je funkce obsahující mnohočlen sudá, lichá, nebo ani sudá, ani lichá.

Co je před čtením tohoto článku třeba vědět

Funkce se nazývá sudá funkce, pokud je její graf osově souměrný podle osy y.
Funkce f je z algebraického hlediska sudá funkce, pokud pro každé x platí, že f(x)=f(x).
Funkce se nazývá lichá funkce, pokud je její graf souměrný podle počátku souřadnic.
Funkce f je z algebraického hlediska lichá funkce, pokud pro každé x platí, že f(x)=f(x).
Pokud je toto pro tebe nové, doporučujeme ti projít si článek Úvod do symetrie funkcí.

Co se v tomto článku dozvíš

Dozvíš se, jak podle rovnice rozpoznat, jestli je mnohočlen sudý, lichý, nebo ani sudý, ani lichý.

Průzkum: Souměrnost jednočlenů

Jednočlen je mnohočlen s jedním členem. Jednočleny mají tvar f(x)=axn, kde a je reálné číslo a n je celé číslo větší nebo rovné 0.
V tomto průzkumu si rozebereme souměrnost několika jednočlenů a zkusíme přijít na obecné podmínky, které platí, když je jednočlen sudý nebo lichý.
Obecně platí, že když chceme určit, jestli je funkce f sudá, lichá, nebo ani sudá, ani lichá, zjistíme její funkční hodnotu f(x):
  • Pokud se všechny f(x) rovnají f(x), pak můžeme říct, že funkce f je sudá.
  • Pokud všechny f(x) rovnají záporné hodnotě f(x), pak můžeme říct, že funkce f je lichá.
  • Jinak není ani sudá, ani lichá.
Jako první příklad zkusíme určit, jestli je funkce s funkčním předpisem f(x)=4x3 sudá, lichá, nebo ani sudá, ani lichá.
f(x)=4(x)3=4(x3)(x)3=x3=4x3Zjednodušíme=f(x)Protože f(x)=4x3
Tady platí f(x)=f(x), takže funkce f je lichá.
Teď zkus pár příkladů ty a zkus v nich najít systém.
1) Je funkce g(x)=3x2 sudá, lichá, nebo ani sudá, ani lichá?
Vyber 1 odpověď:

2) Je funkce h(x)=2x5 sudá, lichá, nebo ani sudá, ani lichá?
Vyber 1 odpověď:

Závěr průzkumu

Z ukázaných příkladů můžeme vyvodit, že když je funkce f obsahuje jen jednočlen se sudým exponentem, pak je funkce f sudá funkce. Podobně když je funkce f obsahuje jen jednočlen s lichým exponentem, pak je funkce f lichá funkce.
Sudá funkceLichá funkce
Příklad g(x)=3x2h(x)=2x5
Obecněf(x)=axn, kde n je sudéf(x)=axn, kde n je liché
Je tomu tak proto, že (x)n=xn, když je n sudé, a (x)n=xn, když je n liché.
Toto je pravděpodobně ten důvod, proč se tak vůbec sudé a liché funkce jmenují!

Průzkum: Souměrnost mnohočlenů

V tomto průzkumu si rozebereme souměrnost mnohočlenů, které mají více než jeden člen.

Příklad 1: f(x)=2x43x25

Jestli je funkce f sudá, lichá, nebo ani sudá, ani lichá určíme tak, že zjistíme f(x).
f(x)=2(x)43(x)25=2(x4)3(x2)5(x)n=xn, když je n sudé=2x43x25Zjednodušíme=f(x)Protože f(x)=2x43x25
Protože f(x)=f(x), funkce f je sudá funkce.
Všimni si, že všechny členy funkce f mají sudý exponent.

Příklad 2: g(x)=5x73x3+x

Opět začneme tak, že zjistíme g(x).
g(x)=5(x)73(x)3+(x)=5(x7)3(x3)+(x)(x)n=xn, když je n liché=5x7+3x3xZjednodušíme
Všimni si, že teď má každý člen v g(x) opačné znaménko než příslušný člen v g(x). Dá se taky říct, že g(x)=g(x), takže funkce g je lichá funkce.
Všimni si, že všechny členy v g mají lichý exponent.

Příklad 3: h(x)=2x47x3

Zjistíme h(x).
h(x)=2(x)47(x)3=2(x4)7(x3)(x)4=x4 a (x)3=x3=2x4+7x3Zjednodušíme
2x4+7x3 není stejné jako h(x) ani nemá u všech členů h(x) opačné znaménko .
Matematicky můžeme říct, že h(x)h(x) a h(x)h(x), takže funkce h není ani sudá, ani lichá.
Všimni si, že v h má jeden člen sudý exponent a jeden člen má lichý exponent.

Závěr průzkumu

Obecně platí, že dopředu můžeme odhadnout, jestli je mnohočlen sudý, lichý, nebo ani sudý, ani lichý tak, že si prohlédneme každý člen mnohočlenu.
xObecné pravidloPříklad mnohočlenu
SudýMnohočlen je sudý, pokud každý člen vyjadřuje sudou funkci.f(x)=2x43x25
LichýMnohočlen je lichý, pokud každý člen vyjadřuje lichou funkci.g(x)=5x73x3+x
Ani sudý, ani lichýMnohočlen není ani sudý, ani lichý, pokud jeho členy vyjadřují zároveň sudé i liché funkce.h(x)=2x47x3

Zkontroluj si, zda tomu rozumíš!

3) Je funkce f(x)=3x47x2+5 sudá, lichá, nebo ani sudá, ani lichá?
Vyber 1 odpověď:

4) Je funkce g(x)=8x76x3+x2 sudá, lichá, nebo ani sudá, ani lichá?
Vyber 1 odpověď:

5) Je funkce h(x)=10x5+2x3x sudá, lichá, nebo ani sudá, ani lichá?
Vyber 1 odpověď:

Chceš se zapojit do diskuze?

Zatím žádné příspěvky.
Umíš anglicky? Kliknutím zobrazíš diskuzi anglické verze Khan Academy.