Úvod do symetrie funkcí

Daný tvar je osově souměrný, pokud zůstane po překlopení podle dané osy stejný.

Například tento pětiúhelník je osově souměrný.

Všimni si, že přímka $l$‍ je osa souměrnosti a že daný tvar je zrcadlový obraz sám sebe podle této osy.

Osovou souměrnost můžeš využít i u tvarů grafů. Pojďme to prozkoumat.

Funkce se nazývá sudá funkce, pokud je její graf osově souměrný podle osy $y$‍.

Například funkce $f$‍ na obrázku dole je sudá funkce.

Ověř si to tak, že přeneseš bod na ose $x$‍ zprava doleva. Všimni si, že graf funkce zůstává po překlopení podle osy $y$‍ stejný!

Z algebraického hlediska se funkce $f$‍ nazývá sudá, pokud pro každé $x$‍ platí $f(-x)=f(x)$‍.

Například na sudé funkci dole si všimni, že díky souměrnosti podle osy $y$‍ pro každé $x$‍ platí, že $f(x)=f(-x)$‍.

Funkce se nazývá lichá funkce, pokud je její graf souměrný podle počátku souřadnic.

Z grafického hlediska to znamená, že když obrazec otočíš o ${180}^{\circ }$‍ podle počátku souřadnic, tak zůstane stejný.

Souměrnost podle počátku souřadnic si taky můžeš znázornit tak, že si překlopíš daný obrazec podle osy $x$‍ a hned potom podle osy $y$‍. Pokud zůstane graf funkce stejný, graf je souměrný podle počátku souřadnic.

Například funkce $g$‍ na obrázku dole je lichá funkce.

Ověř si to tak, že přeneseš bod na ose $y$‍ shora dolů (překlopíš funkci podle osy $x$‍) a potom stejný bod na ose $x$‍ přeneseš zprava doleva (překlopíš funkci podle osy $y$‍). Všimni si, že tato funkce je stejná jako původní funkce!

Z algebraického hlediska se funkce $f$‍ nazývá lichá, pokud pro každé $x$‍ platí $f(-x)=-f(x)$‍.

Například na této liché funkci si všimni, že díky souměrnosti funkce platí, že $f(-x)$‍ je vždy opakem $f(x)$‍.